...这是我们数学建模老师让我们做的作业,要交的,高分请高手做答下,先...
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发布时间：2024-04-09 01:52
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时间：2024-04-12 11:35
摘要
当今社会，人们的生活越来越忙碌，对时间利用效率的要求不断提高，同时，对生活质量的要求也在不断上升。因此在买房时，消费者除了关心房屋价格，还开始关心各类因素的综合影响，如交通的便捷、周边的环境等。这就需要一套完备的体系对各个小区进行综合评测，评测结果客观清晰的反应各个小区之间的性能差异。为了综合考虑各类因素对评测结果的影响以及各类因素间的相互影响，我们引申了普通化学中可逆化学反应的基本理论，通过各个概念的拓展，计算小区的交通效率因数和生活质量因数，从而客观的评价小区的公交网络效率以及品质生活。
建模思想：在假设影响评测结果的各个因素均可量化的前提下，由于影响评测结果的有许多因素，而许多因素之间也存在一定程度的相互影响，构建了各类因素到评测结果的反应方程式，同时加入各类因素之间相互制约相互影响的副反应方程式。通过反应理论的最低自由能的概念，计算评测结果。
问题解答：在问题一的求解中，我们舍弃了次要交通线路的影响，抓住经过拱北小区的七条主要公交线路进行研究，将影响每条线路的因素归结为如下四个：满载率、步行距离（包括站点与目的地之间的步行距离和站点与始发地之间的步行距离）、公交路程与驾车路程之比、等车时间。然后根据权重系数，得到线路功用矩阵。最后根据功用总值与人们的需求量的比值来确定公交网络的效率。且由于方程的多元多次，我们用详细的数学证明了m取值的唯一性。
在问题二的求解中，沿袭了问题一所建立的化学反应模型以及Kb的确立方法，套用了问题一的方法评测居民的品质生活系数。在影响品质生活因素的确定上，选取了住宿条件、周边生态环境、生活便利性以及交通便利性四方面。最后通过与温州村的对比以及完美小区的构建，客观的反应了模型的可行性与准确性。
关键字
可逆化学反应 稳定系数 层次分析法 线路功用矩阵 品质生活系数 公交网络效率
一、问题的提出
生活是一个很普通很平常的单词，但又蕴含了丰富而深刻的内涵。从根本上说，生活是人的生存和发展活动，是一种生气和活力，是一种生命力和创造力。品质生活则表示人们日常生活的品位和质量，包括经济生活品质、文化生活品质、政治生活品质、社会生活品质、环境生活品质“五大品质”。经济生活品质包含经济结构、经济实力、经济竞争力等；文化生活品质包含文明素质、文化氛围、文化含量等；政治生活品质包含社会民主、社会法治、社会正义等；社会生活品质包含社会活力、社会公平、社会秩序等；环境生活品质包含自然环境、景观环境、设施环境等。
——摘自中共浙江省委常委、杭州市委书记王国平同志2006年
9月24日在“提高生活品质、推进和谐发展”研讨会上的讲话《以科学发展观为统领 推进和谐创业 提高生活品质》品质生活评价，应由以城市建设为本转向以人的生活为本；应由注重经济发展指标转向更加注重人文社会发展指标；应由注重人的生存性指标转向更加注重人的发展性指标；应由注重单项性指标转向更加注重集束性指标，从多个层面、多个维度对生活品质进行综合考查和系统评价，注重从不同维度评价生活品质的不同方面,注重指标之间的相互联系、相互影响，对指标进行关联、以综合反映全貌；应由注重以现状的静态反映转向更加注重对变化机制的动态描述，不仅要对某一时点上的生活质量予以评估，反映生活品质不同层面上的依存关系,更要进行动态评估，分析生活品质的变化发展过程，对生活品质的变化机制做出精确描述。
——摘自《生活品质评价的导向性建议（杭州建议）》
杭州拱北小区位于杭州市城北，东起陈家桥运河，西至丽水路，南自湖州街，北到蚕花港。社区占地面积34公顷，是拱宸桥地区旧城改造中诞生的第一个新型社区。社区现有永和坊、永兴坊、永宁坊、永安坊（包括清宸公寓）、永庆坊(包括左岸花园)五个居住小区，共有楼宇226幢，居民6846户，常住人口12322人。根据调查统计，其中30%-40%在市区上班，5%-7%在城东上班，20%-25%在城西上班，30%-35%在拱北小区附近3公里内上班。社区绿化总面积72316平方米,可到运河广场休闲散步。小区附近有拱北公交中心站(具体公交线路见附件1)、离小区1公里左右有大型农贸市场1个，分别离小区1.5公里与2公里处有大型购物超市2个(线路见附件2)，大型综合医院1个，社区卫生服务站若干个。附近有工商银行2个，建设银行2个，农业银行1个，商业银行1个，邮政储蓄1个，农村合作银行1个，ATM机若干个。有中小规模的餐厅(饭店)10个左右。
更多具体的公共事业，文化教育，旅游，房产等地理信息可到中国杭州电子地图上查询：http://map.hangzhou.gov.cn
对于品质生活的评价应从居住小区的周围设施出发，综合考虑小区周围的交通线路，公共设施(水、电、气等)，医疗卫生、学校的布局，小区绿化，景点，空气质量，娱乐、购物的方便性和居民的经济收入等。
(1)具体结合杭州拱北小区实际情况，考虑到居民的衣食住行，从出行，上下班，购物，娱乐等出发，建立数学模型分析目前公交线路的站点是否合理(考虑上流站点对下流站点的影响，是否应该增加或减少线路，上下班高峰期是否应当增加班次等)。评价现行公交网络效率如何，结合小区实际情况给公交部门提出需要修改的意见或建议；
(2)综合考虑影响品质生活的各因素，你认为该小区的品质生活如何？构建一个你认为合适的指标体系和评价数学模型予以说明。找一个杭州市的其他小区(或地区)与这个小区进行一番比较，分析这个小区的优势和不足之处。模型对数据应当具有良好的健壮性(即各种影响因素对品质生活这一特性的敏感性与稳定性)。另外，假定我们想新建一个居民小区，根据你的指标体系和评价模型，你认为应当建立怎样的配套公共设施才能较好地适合你所定义的品质生活？请谈谈你的见解。
二、基本假设
⑴影响评测结果的因素是有限元的，而并非无限元。
⑵因素与因素间的相互影响远小于各类因素对评测结果的综合影响。
⑶被评测的对象是稳定的，变化率较小。
三、概念引入与符号说明
以上为拱北小区周边环境示意图。
A、B、C、D…：各类影响评测结果的因素
：各类影响的权重系数的倒数
Kb：反应方程的平衡系数，用于评测的稳定系数
：可逆化学反应的生成物，评测结果中的有益因子
：可逆化学反应的生成物，评测结果中的有害因子
由于在不同的评测系统中影响评测结果的因素皆不相同，故在求解问题前我们还会对模型中的各个系数进行详细说明。
四、问题的分析
对于公交线路站点是否合适以及公交效率的问题，主要考虑到的是车的容量、发车的频率，交通网络的构成，天气对交通的影响，时间段对交通的影响，交通线路各个站点的属性站点与站点间的距离、各个站点的上车人数与下车人数、站点的属性、居民的属性等等。
对于品质生活的评价，主要用以下两大指数来评测：物理生活环境指数和人文生活环境指数。其中物理生活环境指数的大小取决于小区房屋的舒适度，小区绿化面积的多少，小区人民生活的便捷度等。人文生活环境指数则与周边娱乐休闲场所的多少，不良场所影响力的大小，教育机构软硬件设施的好坏等相关。
同时考虑到各类因素的线性叠加性及其互相之间的相关性，我们建立了类似于化学反应的模型，将各种影响评估结果的因素作为反应物，而将最终的评估结果作为生成物，并在生成物中加入了抑制因子，从而完善了模型的分析结果。
五、模型的建立
5.1 模型的基本理论
该表达式可视为一可逆反应的基本形式。反应在一定条件下可以达到平衡。平衡后生成物的量增加或减少，或者反应物的增加或减少，均可改变该平衡，使平衡向着减轻这一改变趋势的方向进行。
现引用该理论建立新评价模型。视各类因素为各种反应物，生成物为有益因子和有害因子，该反应方程进行的程度以及反应物的多少影响了生成物的量。最终生成物中有益因子的量即为对某事物评价的最终结果。
对于反应的进行程度，我们依旧引用了化学可逆反应中的最低自由能的概念。最低自由能理论认为，各类物质在整体能量最低的时候可以使化学平衡达到稳定。
各种构成品质生活的指标以化学物质来表示，将指标的数值折合成浓度来计算。生活品质是反应的生成物；假如该指标对生活质量起到积极作用（如交通、教育、经济等等），我们将该因素放在化学方程式的左边，作为反应物；假如该指标对生活质量起到消极作用（如污染等），我们将该因素放在化学方程式的右边，作为生成物。最后，得到一条形式如下的化学方程式。
αA+βB+γC AxByCz+εAx1By1Cz1
其中α、β、γ、ε分别为A、B、C 、Ax1By1Cz1等因素的系数。在反应还没有开始的时候，A、B、C 、Ax1By1Cz1浓度分别为a、b、c、d，也就是各种指标的数值大小。
设最后的Ax1By1Cz1浓度为m，那么反应达到平衡时的各物质浓度如下：
αA + βB + γC AxByCz + εAx1By1Cz1
a-αm b-βm c-γm m d+εm
由化学平衡的知识可知，存在如下关系：
其中，E=AxByCz，D= Ax1By1Cz1，Kb-1为平衡常数。
最后得出m即为评测值。
根据化学反应的特点，参与反应的物质之前的系数越大，该物质浓度的改变所引起的化学平衡的改变越不明显，因此，各种指标A、B、C、Ax1By1Cz1之前的系数α、β、γ、ε的数值要与该指标的权重成反比。
由于多项式的次数较高，满足多项式为零的m的值一般是不唯一的。但是在我们所了解的自然界中，使得化学反应趋于稳定的产物浓度是唯一的。事实上，m的取值应该受到以下各因素的约束：
1、m>0；
2、a-αm>0；
3、b-βm>0；
……
也就是说，反应最后所得的各种物质的浓度不能够小于0。
不妨设v=min{ }，并定义(0,v)为解得合法区间。我们可以证明，在(0,v)内，多项式的解是唯一的。证明如下：
原方程
可以改写为 （*）
定义函数 ，其中
f是连续函数。
当m=0时，有
= >0
当m=v时，有
=
= <0
根据连续函数的中值定理，在(0,v)内必有一个m满足
我们还可以证明在合法区间内（*）式是单调递减的，因为当m∈(0,v)时，a-αm，b-βm，c-γm均为单调递减函数，Kb>0，所以 是单调递减的；而对于 ，在m∈(0,v)时是单调递增的， 就是单调递减的，因此，函数f在(0,v)区间内是单调递减的。
假如方程 在(0,v)区间内的解是不唯一的，则可以找到两个解m1，m2，满足f(m1)=0，f(m2)=0。不妨设m1<m2，又因为函数f单调递减，所以f(m1)>f(m2)，与f(m1)=f(m2)=0矛盾，所以在在(0,v)区间内方程
的解是唯一的。
而在使用牛顿迭代法得出方程的数值解的时候，我们只需要从0开始迭代，就可以得出在合法区间内的唯一解了。
对于化学平衡中α、β、γ、ε等系数的确定，我们采取层次分析模型求出权重后再取权重的倒数求得。具体方法如下：
化学平衡中的系数重要性矩阵设其为A，根据参考文献中的分层模型，简要叙述如下：成对比较矩阵和权向量涉及到社会、经济、人文、等因素的决策问题的主要困难在于，这些因素通常不易定量地测量。人们凭自己的经验和知识进行判断，当因素较多时给出的结果往往是不全面的。SATTY等人的做法是不把所有的因素放在一起考虑而是两两进行对比，并且确定了相对尺度如下
尺度 含义
1 Ci 与Cj的影响相同
3 Ci 比 Cj的影响稍强
5 Ci 比 Cj影响强
7 Ci 比 Cj的影响明显的强
9 Ci 比 Cj的影响绝对的强
2，4，6，8 Ci 比 Cj的影响之比介在上述两个相邻等级之间
1，1/2,1/3,….1/9 Ci 比 Cj的影响之比为上面aij 的互反数
假设要比较n个因素C1 C2……Cn的影响，每次取两个因素Ci 与Cj进行比较，aij表示Ci 与Cj的影响之比，全部比较可以得到对比矩阵A=（aij）n×n，aij>0
aij=1/aji来表示，由于aij的特点，A称为正互反矩阵，SATTY等人已经证明可以将A的最大特征值对应的特征向量当作因素的权向量，并且给出了一致性检验标准，当CR<0.1时便合服一致性检验。
仿照SAATY等人的方法我们也可以来确定满载率、步行距离、公交驾车之比、等车时间之间的可以设C1=满载率，C2=步行距离，C3=公交驾车之比，C4=等车时间，根据文献中提供的模型得出A的对角线及其下方的左下角矩阵，只要知道了这个，就可以算出右上角的数值因为aijaji=1。不妨设其右上角的数都是1，这对结果不影响，因为我们可以用matlab编写程序把标准的矩阵求出来，并且求出它的最大特征值对应的特征向量。
5.2 模型的可行性分析
1、积极因素的“浓度”提高，必然会导致生活质量的“浓度”提高。
2、由于生活质量的初始“浓度”为0，化学平衡必然会向正方向移动，最终会生成一定量的“生活质量”。
3、生活品质最终“生成量”主要取决于化学反应中最为缺乏的量。例如，反应中交通项的“浓度”过小，即使其他反应物的浓度再充足，最后的生成物的浓度也只会很小。也就是说，假如一个小区的交通不发达，即使该小区其他积极因素再高，也无法大幅度地提高生活质量。
4、在建模过程中引入了反作用量。消极因素的“浓度”越高，对化学反应的正向移动的反作用就越大，生活品质的生成量就会越小。
上述的各项特征和我们对生活品质的理解是相一致的。
六、问题的求解
6.1 问题一的求解
6.1.1模型的建立
按照杭州各个小区的具体情况，我们将市民乘坐公交车的主要目的分为以下四项：工作、购物、休闲娱乐、医疗。其中，对于同一个小区的居民，乘坐公交去购物、休闲娱乐和医疗的线路式基本相同的，但是各人上班的目的地不同，乘坐的公交也就不同。因此，我们将工作一项按地域分为去城南（即市区）工作、去城西工作、去城东工作以及留在城北（小区内）工作。由于拱北小区本身就靠近背面，所以留在城北工作的人一般不用乘坐公交车，留在城北（小区内）工作的公交使用率为0，但是对于其他小区，该项数值未必为0，因而我们对该项予以保留，以用于和其他小区比较。
对于公交网络的效率的评价，由于对整个杭州的公交网络的评价过于复杂，我们只针对通过拱北小区的几条主要线路组成的网络进行评价。评价模型如下：
对于每一条线路的效率定义，我们采用化学平衡模型。我们将影响每条线路的因素归结为如下四个：满载率、步行距离（包括站点与目的地之间的步行距离和站点与始发地之间的步行距离）、公交路程与驾车路程之比、等车时间。
满载率、步行距离、公交路程与驾车路程之比、等车时间分别以A、B、C、D四种物质表示，生成的公交线路的效率用E表示。满载率越高，公交的效率越高；步行距离越长，公交的效率越低；公交路程与驾车路程之比越大，公交的效率越低；等车时间越长，公交的效率越低。因此，我们在步行距离、公交路程与驾车路程之比、等车时间这三个指标的设立的时候，应该考虑到指标的数值越大，该指标的得分越小。于是，我们得到化学反应方程式
αA +βB+γC+δD E
设E的最终生成量为m’，化学平衡常数为Kb’，则有
用牛顿迭代法就可以求出m’的值，m’也是该条线路的效率。
经过拱北小区公交站的总共有i条线路，我们将i个m’值组成一个线路效率向量v，v=(m1’， m2’，……， mi’)。
小区的交通线路按功用分为以下七项：去城南（即市区）工作、去城西工作、去城东工作、留在城北（小区内）工作、购物、休闲娱乐、医疗。我们将根据这七大用途讨论公交网络的效率。
按照各线路的各种公用列出表格，某一线路与某功用对应的数字表示该线路经过该种场所的次数，表格如下：
线路/功用分布 城南（即市区）工作 城西工作 城东工作 城北工作 购物 休闲娱乐 医疗
k198 1 0 1 0 1 2 0
k276 1 0 0 0 1 1 0
k33/33 1 0 1 0 2 1 0
k23/23 0 0 0 0 0 1 1
k70/70 0 0 0 0 0 1 1
k151/151 1 0 0 0 2 1 1
k591 1 0 0 0 0 0 1
作出线路-功用矩阵。
令w=vL，w是一个七维向量，它的第i项表示人们坐公交用于第i个目的的功用总值。
小区内的人对该用途的需求量我们用小区内的所有人在单位时间内有该需求的总次数来衡量。
在这个问题中，我们以一年为单位时间。
对某种用途的公交网络的效率越高，人们的需求所得到的满足就会越大。
实际上，对某种用途的公交网络的效率越高，仅仅是使得人们的需求所得到的满足度越大，并不代表公交网络就是合理的。效率过大，会引起公交网络供过于求，出现跑空车的状况；效率过小，又会使得人们的需求得不到满足。当供需基本平衡，公交网络对该用途的设置才算是合理的。
在现实生活中，站点的设置是和人们的主要去向相一致的。也就是说，对某种用途的公交网络设置的合理性，跟公交线路站点设置的合理性（包括线路合理性、班次合理性以及站点合理性）是一致的。
在评价公交线路的站点的合理性的时候，我们采用如下方式：
先对一个“最好的”公交模型的效率进行评价，拟合出一个“合理”的值，再观察小区的各项指标对应的效率与“合理的效率”之间的差值。差距越大，合理性越差。
6.2.2各项指标的标准的设立及各项指标的得分
根据上述的讨论，我们对需要讨论的各项指标设立如下标准：
a.步行距离标准：
为了简单考虑,我们选择每条线到达一些重要的地方要走的距离,这个可以通过gooogle地图进行搜索到,结果如下
线路 城站火车站 火车东站 武林广场 汽车东站 河坊街 汽车北站 运河广场 杭州第二人民医院 欧尚超市
k198 36 134 36 479
k276
k33/33 84 0 98 0 310 406
23/k23 299 296 155
k70
151 144 424 220 477
k591 98 57 159
说明为空的表示不能去的。
并且我们也制定了相应的标准如下：
评分标准
<300
300-350
350-400
400-450
>450
按照这个标准换算处其对应的得分如下：
线路 城站火车站 火车东站 武林广场 汽车东站 河坊街 汽车北站 运河广场 杭州第二人民医院 欧尚超市
k198 5 5 5 1
k276
k33/33 5 5 5 5 4 2
23 1 5 5
70/k70 5 5 5
k151/151 5 2 5 1
k591 5 5 5
取其平均可得每条线的平均步行得分如下：
线路 等级
k198 4
k276 5
k33/33 4.2
23 3.6
70/k70 5
k151/151 3.3
k591 5
b.公交驾车距离之比的标准：
首先关于公交驾车距离的概念：待补
一条线路的驾车路程=一条路线的起始点到终点的驾车距离
一条线路的公交路程=一条线的公交距离+平均靠站时间×平均速度×(该线总站点数-1)+0.5×平均速度×(该线总站点数-1)×平均加减速时间
公交驾车路程之比= ,并且我们给出了它的等级标准
标准为：
比值标准等级
>1.5 1
1.4-1.5 2
1.3-1.4 3
1.2-1.3 4
<1.2 5
公交距离及其驾车距离和站点数查询google地图即可，结果如下
线路 驾车距离 公交距离 总站点数 靠站点数
k198 14.1 13.8 13 12
k276 11 12.1 11 10
k33/33 9.8 11 19 18
23/k23 7.4 8.3 17 16
70/k70 11.2 13.4 24 23
k151/151 11 12.1 24 23
k591 10.9 11.8 25 24
杭州普通公交线的平均时速为高峰13~14公里/小时，平峰17~18公里/小时，主城区高峰时甚至不到10公里/小时。
平均靠站时间=38.8s,平均加减速时间=10s.
算得各个线的公交驾车路程之比和平均公交驾车之比为
线路 平峰比值 高峰比值 市区高峰比值 平均比值
k198 1.15993 1.11851 1.08227 1.1202367
k276 1.29356 1.24932 1.21061 1.2511633
k33/33 1.51352 1.42413 1.34592 1.4278567
23/k23 1.58198 1.47676 1.38469 1.4811433
70/k70 1.63367 1.53373 1.44628 1.5378933
k151/151 1.54519 1.44343 1.35439 1.44767
k591 1.55138 1.44422 1.35046 1.4486867
根据上面的标准可以的到
各个线路的等级为
线路 等级
k198 5
k276 4
k33/33 2
23/k23 2
70/k70 1
k151/151 2
k591 2
c.等车时间的标准
由于杭州市的公交网络是根据当时当地的客流情况而定的，所以，我们可以默认拱北小区的发车时间的等级是最高的，一律取成5。
d.满载率的标准
由于我们无法找到杭州市公交线的满载率，我们根据杭州市大致的人口分布规律对满载率进行了估算。认为满载率与人口密度成正比关系。
考虑到上下流站点的满载率的不一致性，我们采用平均满载率来评判。
（1）
对一条线路的平均满载率作出如下的标准设定：
对各个主要站点的人口密度的估算如下：
y=31850e-0.2534x，x代表到市中心的距离。
以拱北小区的人口密度为一来计算，折合出各地区人口密度与拱北小区的人口密度之比。
