三角形三条边长分别为1,2,√3,求其三条中线长

发布网友发布时间：2024-04-19 10:13

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热心网友时间：2024-05-12 16:09

已知三角形三边为a,b,c,分别求三条中线长。

答：假设三角形的三条中线分别为：Ma、Mb、Mc，用三角形的三边a，b，c来表示它的三条中线长如下：

Ma=1/2根号(2b^2+2c^2-a^2)

Mb=1/2根号(2c^2+2a^2-b^2)

Mc=1/2根号(2a^2+2b^2-c^2)

借助余弦定理可以证出。只证Ma，其余证法相同。

取BC的中点D，连接AD，在△ABD中，BD=a/2，由余弦定理得

AD^2=AB^2+BD^2-2AB*BDcosB
=c^2+a^2/4-2*c*a/2*cosB .................................①

在△ABC中，有：b^2=c^2+a^2-2ac*cosB，变形为
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ca...................................②

将②代入①式，得
AD^2=c^2+a^2/4-2*c*a/2*(c^2+a^2-b^2)/2ca
=c^2+a^2/4-(c^2+a^2-b^2)/2
=(4c^2+a^2)/4-(2c^2+2a^2-2b^2)/4
=(2b^2+2c^2-a^2)/4
所以Ma=AD=1/2*根号(2b^2+2c^2-a^2)。

附：余弦定理：设三角形的三边为a b c，各对角分别为A、B、C，则
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

热心网友时间：2024-05-12 16:10

　　解：先画出图形，再用勾股定理，很简单的。
　　分别是1，√7/2和√13/2.