正弦定理和余弦定理...在线等...会一两题的也进
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发布时间：2024-02-09 23:14
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时间：2024-08-14 00:02
由正弦定理可以得到c/sinC=b/sinB，所以有c/b=sinC/sinB，而C=3B，所以有sinC/sinB=[3sinB-4(sinB)^3]/sinB=3-4(sinB)^2，而A，B，C为三角形的内角所以有B+C<180故有B<45，所以有0<(sinB)^2<1/2代入到上式中得到，1<c/b<3.
2,这个题我采用的是数形结合的方法，建立直角坐标系XOY，将角B的顶点与原点重合，边AB与X轴正半轴重合，那么边BC在第一象限的45度角方向，当三角形ABC为直角三角形（角A=90）时，有BC=2√2。当点C在射线BC上移动时，以C点为圆心，2为半径作圆，当这个圆与X正半轴有两个交点时，BC的长度变化范围即为X的取值范围，我们得到2<x<2√2（x>2是因为如果x<2虽然所作的圆与X轴有两个交点，但是有一点在X轴负半轴，此时得到的角B=135而不是45，而如果x>=2√2那么所作的圆将与X轴至多有一个交点，否则没有交点）
3，因为a²tanB=b²tanA，由正弦定理可以得到a/b=sinA/sinB，所以有(sinA)^2/(sinB)^2=tanA/tanB,于是可以得到sinA/sinB=cosB/cosA,进一步得到sin2A=sin2B,同样利用和差化积公式得到，cos(A+B)sin(A-B)=0,于是得到A+B=90或A=B，所以有三角形是直角三角形或是等腰三角形。答案选取D
4，(1)因为A+B+C=180,所以有C=180-A-B于是有tanC=tan(180-A-B)=-tan(A+B)=-[(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)]将tanA,tanB的值代入得到tanC=-1,所以有C=135，由于tanA,tanB均大于0，所以有角A，B均为锐角，故有c为最大边，c=√2
(2)因为tanA<tanB所以有A<B故有角A是最小角，sinA=2/√29,由正弦定理可以得到a/sinA=c/sinC,于是可以解得a=4/√29.
5.因为角B=60，所以有A+C=120，在A，C两角中必有一角大于60，一角小于60，不妨设A>C,所以有角A为最大角，角C为最小角。由题意知sinA/sinC=a/c=(√3+1)/2,将C=120-A代入到等式中得到，sinA/[√3/2cosA+1/2sinA]=(√3+1)/2,化简得到tanA=2√3+1所以有A=75.答案选C
6。S=1/2bcsinA,=10sinA=5√3所以有sinA=√3/2,由正弦定理可以得到a/sinA=2R=2√3,所以有a=3.
7,tanC=tan(180-A-B)=-tan(A+B)=-[(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)]=-1所以有C=135因为tanA>tanB，所以有角B为最小角，b为最小边，c=1为最大边。由正弦定理可以得到，c/sinC=b/sinB，于是得到b=√5/5
8,因为△ABC的面积S=(a²+b²-c²)/4>0所以有a^2+b^2-c^2>0而由余弦定理可以得到a^2+b^2-c^2=2abcosC所以有2abcosC>0于是有角C为锐角。又三角形ABC的面积S=1/2absinC,于是有(a^2+b^2-c^2)/4=1/2abcosC=1/2absinC故有tanC=1，而角C为锐角，所以有C=45。
9，（1）过B作边AC的平行线交中线AD的延长线于点E，因为D为BC的中点，而AC平行于BE，所以有AE=2AD=7，BE=AC=7，所以有三角形ABE为等腰三角形，AB边上的高为
3√5，所以有三角形ABC中，AB边上的高为3√5，由于三角形ABE为等腰三角形，分析可以知道，角A为钝角，过C点作边AB上的高交AB于点F，因为CF=3√5，AC=7，所以有AF=2，于是有BF=6，这样就得到BC=9，即a=9.
（2）因为角B为最大角，所以有b>a,b>c,b<a+c,3<x<6又因为角B>90所以有cosB<0由余弦定理可以得到2accosB=a^2+c^2-b^2<0于是得到(2x-5)^2+16-(x+1)^2<0化简得到3x^2-22x+40<0解得10/3<x<4.所以最终有X的取值范围为10/3<x<4.
10,由正弦定理可以得到b/sinB=c/sinC代入到b²·sin²C+c²·sin²B=2bc·cosB·cosC消去b,c得到2(sinB)^2(sinC)^2=2sinBsinCcosBcosC于是得到sinBsinC=cosBcosC所以有cos(B+C)=0因此有B+C=90故有三角形ABC为直角三角形。
11，（1）因为方程组有实数解，将方程（1）-方程（2）得到x^2-2kx+3(k^2+1)-7k=0有实数解，所以有判别式应大于或等于0，所以有4k^2-12(k^2+1)+28k>=0变形得到2k^2-7k+3<=0解得1/2=<k<=3,由于K为整数，所以有K=1，2，3。
（2）因为|sinC|<=1,而sinC=k/√2所以有k=1，由于三角形ABC为锐角三角形，所以有C=45.
由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC代入(c-b)·sin²A+bsin²B=csin²C消去，a,bc得到(sinC-sinB)sin²A=(sinC)^3-(sinB)^3=(sinC-sinB)[(sinC)^2+(sinB)^2+sinBsinC]于是可以得到sinC=sinB或(sinA)^2=(sinC)^2+(sinB)^2+sinBsinC
应用正弦定理可以得到a^2=c^2+b^2+bc,而由余弦定理可以得到a^2=b^2+c^2-2bccosA所以有cosA=-1/2，所以有A=120但是三角形ABC为锐角三角形，所以有只有sinC=sinB,于是有B=C=45,A=90.
12,设这三边分别为x-1,x,x+1,对应角分别为A，B，C因为最大角为钝角，所以有C>90于是cosC<0,而由余弦定理可以得到2abcosC=a^2+b^2-c^2<0化简得到x^2-4x<0解得0<x<0又因为x-1+x>x+1所以有2<x<4而x为自然数，所以有x=3,那么另外两边分别为2，4。
14，因为方程b²x²+(b²+c²-a²)x+c²=0的判别式为（b^2+c^2-a^2)^2-4b^2c^2=4b^2c^2{[(b^2+c^2-a^2)/2bc]^2-1}=4b^2c^2[(cosA)^2-1]<0所以有f(x)是恒大于0，故答案为B。
14，因为.√(a²+b²+ab)大于a也大于b所以.√(a²+b²+ab)所对的角即为最大角，设为X，那么由余弦定理可以得到2abcosX=a^2+b^2-(a^2+b^2+ab)=-ab所以有cosX=-1/2于是有X=120，所以有最大角为120。
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时间：2024-08-14 00:01
c/b
=sinC/sinB
=sin3B/sinB
=(sin3B)/sinB
=(sinBcos2B+sin2BcosB)/sinB =cos2B+2(cosB)^2
=3(cosB)^2-(sinB)^2
=3(cosB)^2+[1-(sinB)^2]-1
=4(cosB)^2 -2＋1
=2cos2B＋1
因为C=3B
0<B+C<180
0<4B<180
0<2B<90
所以1<2cos2B＋1<3
即：1<c/b<3
（2）
x/sinA=2/sin45
x=(2√2)sinA
要使x有两解，则45<A<135
√2/2<sinA≤1
所以2<x≤2√2，选C
（3）
a²tanB=b²tanA
sin²AsinB/cosB=sin²BsinA/cosA
sinA/cosB=sinB/cosA
sinAcosA=sinBcosB
sin2A=sin2B
所以2A=2B或者2A+2B=180
即A=B或者A+B=90
这是等腰三角形或者是直角三角形，选D
后面的就不做了，分少是一个原因，更主要的原因是题太多。建议你把问题分开提问，这样每道题都获得详细解答的机率会大很多。
