...A的2次方等于A;A的行列式不等于0。证明:A是正定矩阵。

发布网友发布时间：2024-02-10 09:34

共2个回答

热心网友时间：2024-08-12 10:23

根据已知条件有：A^T = A (A^T表示A的转置)，A^2 = A * A = A^T * A=A. 对任意的向量X，有
X^T * A * X = X^T * A^2 * X = X^T * A * A * X = X^T * A^T * A * X = (AX)^T * (AX)，令AX = Y = (y1, ..., yn)，
则：X^T * A * X = X^T * A^2 * X = Y^T * Y = y1^2 + ....... + yn^2 >= 0.
且 A 的行列式不为 0，根据 AX = Y，所以 X ≠ 0 => Y ≠ 0.
由 X 的任意性知道，A 为正定矩阵.
望采纳~~

热心网友时间：2024-08-12 10:18

因为A^T=A所以A是对称矩阵。
又因为A^2=A，所以A^2-A=〇。
用m_A (x) 表示A的最小多项式，则m_A （x）| （x^2 -x）
这说明A的特征值只可能是0或者1，又因为|A|≠0
所以A的特征值全为1，即特征值全为正数，所以A是正定矩阵。