在平行四边形ABCD中取一点P,BP=1,AP=4,PC=5,求PD?
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发布时间：2024-02-01 03:46
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时间：2024-07-24 00:18
过P作GH//BC,G在AB上,H在CD上
因为 在平行四边形ABCD中 AB//CD,AD//BC
所以 AGPE,GBFP,PFCH,EPHD都是平行四边形
所以 AE=BF=PG,ED=FC=PH,角AEP=角PHC=角ADC,角BFP=角PED=角BCD
因为 在三角形APE中 角AEP=角ADC,AE=PG
所以 由余弦定理得 AP^2=PE^2+PG^2-2*PE*PG*Cos角ADC
同理
在三角形BFP中有 BP^2=PF^2+PG^2-2*PF*PG*Cos角BCD
在三角形PCH中有 PC^2=PF^2+PH^2-2*PF*PH*Cos角ADC
在三角形EPD中有 PD^2=PE^2+PH^2-2*PE*PH*Cos角BCD
因为 AD//BC
所以 角ADC+角BCD=180度
所以 Cos角BCD=-Cos角ADC
所以
AP^2=PE^2+PG^2-2*PE*PG*Cos角ADC
BP^2=PF^2+PG^2+2*PF*PG*Cos角ADC
PC^2=PF^2+PH^2-2*PF*PH*Cos角ADC
PD^2=PE^2+PH^2+2*PE*PH*Cos角ADC
所以
BP^2+PD^2-2*PF*PG*Cos角ADC-2*PE*PH*Cos角ADC=AP^2+PC^2+2*PE*PG*Cos角ADC+2*PF*PH*Cos角ADC
因为 PF=AB-PE,PH=AD-PG
所以
2*PE*PG*Cos角ADC+2*PF*PH*Cos角ADC+2*PF*PG*Cos角ADC+2*PE*PH*Cos角ADC
=2AB*AD*Cos角ADC
所以
PD^2=AP^2+PC^2-BP^2+2AB*AD*Cos角ADC
因为
AP=4,PC=5,BP=1
所以
PD=√(40+2AB*AD*Cos角ADC)
PD的值随角ADC的变化而变
特殊情况：
当 角ADC=90度时,Cos角ADC=0
此时,PD=√40
