定义在R+上的函数f(X),对于任意的m,n属于正实数都有f(mn)=f(m)+f...

发布网友发布时间：2024-02-09 02:05

共2个回答

热心网友时间：2024-08-11 10:01

解（1）因为f(mn)=f(m)+f(n)，取m=n=1，有
f（1）=f（1）+f（1）
得f（1）=0
（2）设a>1，则f（a）<0,
设x>0，则ax>x
因为f(mn)=f(m)+f(n)
故f（ax）=f（a）+f（x）
f(ax)-f(x)=f(a)<0
又ax>x
故f(x)在R+上是单调递减函数

热心网友时间：2024-08-11 10:04

（1）解：
因为对于任意的m>0，n>0，都有f(mn)=f(m)+f(n)成立，
所以可令m=1，得到f（n）=f（1）+f（n），
即有：f（1）=0。
（2）证明：
首先，f（1）=0，在x>1时，f（x）<0，即此时有f（x）<f（1）。
然后，由于f（mn）=f（m）+f（n），
令mn=x1，n=x2，于是m=x1/x2，从而有f（x1）=f（x2）+f（x1/x2）。
由题意，不妨设x1>x2>0，因此x1/x2>1
因为x>1时f（x）<0，所以f（x1/x2）<0
进一步地，f（x1）-f（x2）=f（x1/x2）<0,
得到f（x1）<f（x2）。
由m、n的任意性可知对于任意的x1>x2>0，都有f（x1）<f（x2），
这就证明了f（x）在R+上是单调函数（确切地，是单调递减函数）。

PS：函数f（x）=-ln x ，x>0 满足题意，可帮助理解。