5,7,求微分方程的通解,(1)微分方程的特解,详细答,最好能附上一些这类...
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发布时间：2024-01-22 04:21
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时间：2024-07-30 08:30
解：两边同除以x，得 y'=√[1+(y/x)²]+y/x............(1)
令y/x=u，则y=ux；y'=dy/dx=x(du/dx)+u；
代入(1)式得 x(du/dx)+u=√(1+u²)+u
化简得 x(du/dx)=√(1+u²)
分离变量得 du/√(1+u²)=dx/x
积分之得 ln[u+√(1+u²)]=lnx+lnc=lncx
故 u+√(1+u²)=cx；
1+u²=(cx-u)²；1+u²=c²x²-2cxu+u²；
2cxu=c²x²-1；故u=(c²x²-1)/2cx；
故通解为 y=ux=(c²x²-1)/2c=(1/2)(cx-1/c).
(7).求微分方程 (x³+y³)dx-3xy²dy的通解
解：两边同除以x³，得[1+(y/x)³]dx-3(y/x)²dy=0
令y/x=u，则有（1+u³)dx-3u²dy=0
dy/dx=(1+u³)/3u²...........(1)
∵y=ux；y'=dy/dx=x(du/dx)+u；
代入(1)式得 x(du/dx)+u=(1+u³)/(3u²)
x(du/dx)=(1+u³)/(3u²)-u=(1-2u³)/(3u²)
分离变量得 (3u²)/(1-2u³)du=dx/x
积分之得 ∫ (3u²)/(1-2u³)du=∫dx/x
-(1/2)∫d(1-2u³)/(1-2u³)=∫dx/x
故得-(1/2)ln(1-2u³)=lnx+lnc₁=lnc₁x
故得 1/√(1-2u³)=c₁x
1/(1-2u³)=c₁²x²=cx²
由此解得u=[(1/2)(1-1/cx²)]^(1/3)
故原方程的通解为 y=x[(1/2)(1-1/cx²)]^(1/3).
热心网友
时间：2024-07-30 08:28
