怎么求指数函数的值域?
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发布时间：2022-05-02 14:12
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时间：2022-06-20 10:33
指数函数的一般形式为 ，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得
如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
可以看到：
（1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
（2） 指数函数的值域为大于0的实数集合。
（3） 函数图形都是下凹的。
（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。
（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
（7） 函数总是通过（0，1）这点。
（8） 显然指数函数无界。
指数函数的值域一般为(0,+∞),其他情况多不胜数 如:解法一:反函数
y=(1/2)^[(x-1)/(x+1)]
log<1/2>y=(x-1)/(x+1)
xlog<1/2>y+log<1/2>=x-1
x(1-log<1/2>y)=1+log<1/2>y
x=(1+log<1/2>y)/(1-log<1/2>y)
反函数y=(1+log<1/2>x)/(1-log<1/2>x)
反函数的定义域(0,1/2)∪(1/2,+∞)
反函数的定义域即原函数的值域
y的值域(0,1/2)∪(1/2,+∞)
解法二:极限
y的定义域(-∞,-1)∪(-1,+∞)
y=(1/2)^[(x-1)/(x+1)]
=2^[-(x-1)/(x+1)
=2^{[2-(x+1)]/(x+1)}
=2^[2/(x+1)-1]
=2^[2/(x+1)]/2
判断单调性
x↗,x+1↗,2/(x+1)↘,2^[2/(x+1)]/2↘即x↗,y↘
y=在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递减,判断定义域四个端点上y值的极限可得y的值域
当x→-∞时,(x-1)/(x+1)→1+,y→1/2-
当x→-1-时,(x-1)/(x+1)→+∞,y→0+
y在(-∞,-1)上的值域是(0,1/2)
当x→-1+时,(x-1)/(x+1)→-∞,y→+∞
当x→+∞时,(x-1)/(x+1)→1-,y→1/2+
y在(-1,+∞)上的值域是(1/2,+∞)
y的值域(0,1/2)∪(1/2,+∞)
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时间：2022-06-20 10:33
当定义域不为R时
y=a^x
1
当a<1时
函数为减函数
2
当a>1时
函数为增函数
具体值域视情况而定
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时间：2022-06-20 10:34
