双曲线中的中点弦问题

发布网友发布时间：2022-05-02 11:05

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热心网友时间：2022-06-19 15:08

（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点
当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得
（2-k²）x²+2（k²-2k）x-k²+4k-6=0
当2－k^2=0,k=-根[2],k=根[2]有一个个交点
Δ=〔2(k^2－2k)〕2－4(2－k^2)(－k^2+4k－6)=16(3－2k)
当Δ=0，k=
3/2方程有一个实根，l与C有一个交点
当Δ＞0,即k＜3/2
,方程有两不等实根，l与C有两个交点
当Δ＜0，即k＞
3/2时，方程无解，l与C无交点
.
(2)k*OP的斜率=-(x^2的系数)/(y^2的系数)=2
求出k=1时满足题意
.
(3)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x1^2－y1^2=2,2x2^2－y2^2=2两式相减得
2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)
又∵x1+x2=2,y1+y2=2
∴2(x1－x2)=y1－y1
即kAB=2
但渐近线斜率为±根2
,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在
。