给定椭圆 : ,称圆心在原点 ,半径为 的圆是椭圆 的“准圆”.若椭圆 的...
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发布时间：2023-12-11 18:42
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时间：2024-11-02 01:01
(Ⅰ)求椭圆 的方程和其“准圆”方程；
(Ⅱ)点 是椭圆 的“准圆”上的一个动点，过动点 作直线 ，使得 与椭圆 都只有一个交点，试判断 是否垂直，并说明理由． (Ⅰ) ， ；(Ⅱ)垂直.
试题分析：(Ⅰ)利用焦点坐标求出 ，利用短轴上的一个端点到 的距离为 ，求出 ，解出 ， ，写出椭圆方程，通过得到的 ， 求出准圆的半径，直接写出准圆方程；(Ⅱ)分情况讨论：①当 中有一条直线的斜率不存在时，②当 的斜率都存在时.
试题解析：(Ⅰ)由题意可知 ， ，则 ， ，
所以椭圆方程为 . 2分
易知准圆半径为 ，
则准圆方程为 . 4分
(Ⅱ)①当 中有一条直线的斜率不存在时，
不妨设 的斜率不存在，因为 与椭圆只有一个公共点，则其方程为 ，
当 的方程为 时，此时 与准圆交于点 ， ，
此时经过点 或 且与椭圆只有一个公共点的直线是 或 ，
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