...的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,分...

发布网友发布时间：2024-02-23 01:54

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热心网友时间：2024-03-01 08:02

解：∵F（0，p2），又依题意直线l不与x轴垂直，∴设直线l的方程为y=kx+p2．
由y=kx+p2x2=2py，可得x2-2pkx-p2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2pk，x1x2=-p2．
y1+y2=k(x1+x2)+p=2pk2+p，
y1y2=（kx1+p2）（kx2+p2）=k2x1x2+kp2（x1+x2）+p24
=-k2p2+k2p2+p24=p24．
由x2=2py，可得y=x22p，∴y′=xp．
∴抛物线在A，B两点处的切线的斜率分别为x1p，x2p．
∴在点A处的切线方程为y-y1=x1p（x-x1），
即y=x1px-x122p．
同理在点B处的切线方程为y=x2px-x222p．
解方程组y=x1px-x122py=x2px-x222p，可得x=pky=-p2．
∴点C的坐标为(pk，-p2)．
∴AC•BC=(pk-x1，-p2-y1)•(pk-x2，-p2-y2)
=p2k2-pk(x1+x2)+x1x2+p24+p2(y1+y2)+y1y2
=p2k2-pk•2pk-p2+p24+p2•(2pk2+p)+p24=0．
故选：A．