证明:当x>0时,1/(1+x)<ln(1+1/x)<1/x.
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发布时间：2024-02-20 04:16
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热心网友
时间：2024-12-01 13:24
证明：令1/x=t x=1/t (t>0)
则 等价求证：t/(1+t)<ln(1+1/t)<1/t
设f(t)=t/（1+t）-ln(1+t) t>0
f'(t)=1/(1+t)²-1/（1+t）=-t/(1+t)²<0
又∵t→0 f(t)=0 f'(t)<0则函数f(t)在t>0时单调递减
∴f(t)<0
∴t/(1+t)-ln(1+t)<0 t/(1+t)<ln(1+t)
同理 设f(t)=ln(1+t) -t t>0
f'(t)=1/(1+t)-1=-t/(1+t)<0
又∵t→0 f(t)=0 f'(t)<0则函数f(t)在t>0时单调递减
∴f(t)<0 ln(1+t)-t<0
∴ln(1+t)<t
综上 t/(1+t)<ln(1+t)<t
∴x/(1+x)<ln(1+1/x)<1/x
希望有用哈。
热心网友
时间：2024-12-01 13:24
令f(x)=1/(1+x)-ln(1+1/x)
f'(x)=-1/(1+x)*2-1/(1+1/x)(-1/x*2)=1/(x(x+1)*2)
因为x＞0，所以 f'(x)＞0，即f(x)单调递增，f(0+)→—∞，f(+∞)=0，
所以 当x>0时，f(x)=1/(1+x)-ln(1+1/x)＜0，即 1/(1+x)<ln(1+1/x)
第二步 证明ln(1+1/x)<1/x：
令g(x)=ln(1+1/x)-1/x
g'(x)=-1/(x*2)+x/[(1+x)×(x*2)]=1/[x*2×(1+x)]
因为x＞0，所以 g'(x)＞0，即g(x)单调递增，可证g(0+)→—∞，g(+∞)=0
所以 当＞0时，g(x)=ln(1+1/x)-1/x＜0，即ln(1+1/x)<1/x
综上所诉，当x＞0时，1/(1+x)<ln(1+1/x)<1/x 原命题得证
热心网友
时间：2024-12-01 13:25
接下去分别令y=1/x和y=-1/(1+x)即可
