fx在R上连续可微，limf‘x=c，且f(x+1)-f(x)=f’(x) 如何证明f’x恒等于c?

发布网友发布时间：2022-05-04 20:25

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热心网友时间：2023-10-08 16:08

f(x)在R上连续可微，limf‘x=c，且f(x+1)-f(x)=f’(x) 证明f’x恒等于c：

令u=x、t=f(x，u)、y=f(x，t)，则φ(x)=f(x，y)；φ'(x)=f'x(x，y)＋f'y(x，y)y'。

①； y'=f'x(x，t)＋f't(x，t)t'。

②；t'=f'x(x，u)＋f'u(x，u)u'。

③；u'=1。

④；所以u(1)=1、t(1)=f(1，1)=1、y(1)=f(1，1)=1，t'(1)=a＋b，y'(1)=a＋b(a＋b)，φ'(1)=a＋b[a＋b(a＋b)]=a＋b[a＋ab＋b^2]，即φ'(1)=a＋ab＋ab^2＋b^3。

设f(x)二阶可导,limfx/x=1,且f1=1的公式：

即f(x)在[0,1]上连续,f(0)=f(1)=0,f’(0)•f’(1)＞0 存在ζ∈（0,1）使f(ζ)=0。

因为f(x)在[0,1]上连续可微,f(x)=f(0)+f'(0)x+o(x)=f'(0)x+o(x)。

f(1-x)=f(1)-f'(1)(1-x)+o(x)=-f'(1)(1-x)+o(x) (x->0)。

于是f(x)*f(1-x)=-x(1-x)f'(0)f'(1)+o(x)0）。于是存在ζ∈（x,1-x）属于(0,1)使得f(ζ)=0。这是因为Limf’(x)/g’(x)不一定存在比如f(x)=x+1,g(x)=x^2+1,则Lim(x->0)f(x)/g(x)=1但是Lim(x->0)f'(x)/g'(x)=∞。