f(x)=arctan(x²)展开成x的幂级数

发布网友发布时间：2022-05-04 17:58

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热心网友时间：2022-06-24 12:27

1、arctanx的麦克劳林级数展开式，必须分三段考虑：

－∞≤ x ≤-1、－1 < x < +1、1 < x < +∞

2、分成三段的原因是：

(1)、在展开过程中，必须先求导，再积分；

(2)、在求导跟积分之间，必须运用公比小于1的无穷等比数列求和公式；

(3)、运用等比求和公式时，必须考虑收敛与否，因此必须分成两部分：｜x| < 1、｜x|≥ 1；

(4)、在 |x| ≥ 1时，有必须考虑积分的下限问题，因此还得再分为二。

展开方式如下

当｜X|<1时。

当X≤1时。

当X≤－1时。

三角函数公式

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

热心网友时间：2022-06-24 12:27

解1：注意到一个等式的话,这个题就比较简单了 tan(π/4+arctanx)=(1+x)/(1-x) 所以 arctan[(1+x)/(1-x)]=arctan[tan(π/4+arctanx)]=π/4+arctanx 所以原式=π/4+arctanx 这样就可以直接用arctanx的展开式做了|x|+∞] 所以原式=π/4+arctanx=π/4+∑[(-1)^n][x^(2n+1)]/(2n+1) [n=0->+∞] 解2：（来自星光下的守望者）令g(x)=arctan[(1+x)/(1-x)],g(0)=π/4 ∫[0->x]g'(t)dt = g(x)-g(0)=g(x)-π/4 g'(x)=[(1+x)/(1-x)]'/[1+(1+x)??/(1-x)??]=1/(1+x??) g(x)=∫[0->x]g'(t)dt+π/4=∫[0->x] 1/(1+t??)dt+π/4 易知1/(1+t??)=1-t^2+t^4-t^6+…… |t|x] (1-t^2+t^4-t^6+……) dt =π/4+(x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+……) =π/4+∑[(-1)^n][x^(2n+1)]/(2n+1) [n=0->+∞]

热心网友时间：2022-06-24 12:28

简单计算一下即可，答案如图所示

f(x)=arctan(x&#x00B2;)展开成x的幂级数

f(x)=arctan(x²)展开成x的幂级数