物理竞赛,求高脚杯的重心高度。

发布网友 发布时间：2022-05-05 05:04

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热心网友 时间：2022-07-01 18:49

郭敦荣回答：
薄壁球的重心在球的中心点O上，点O的高度为半径R。
今切去一个球冠，其高为h做高脚杯的脚；高脚杯的总高H0=2R。
设高脚杯的重心为Q，高为H1，
过重心Q作平行于底面的平面，则切下一个上球带，上球带的面积为S球带，于是，
S球带=（1/2）球面=（1/2）×4πR²=2πR²，
设上球带的高为H，则
S球带=2πRH（这是球带面积公式），
∴H=R，
∴高脚杯的重心的高H1=H0－H=2R－R=R，
高脚杯的重心的高H1=R。
高脚杯的重心仍为原薄壁球的重心，在球的中心点O上，重心高为R，与高脚杯的脚高h无关。

附：
在我的原回答中有你已采纳的内容——
其重心则上移了为Q，重心Q由Q1与Q2合成，重心Q1的高为h，它的质量由两个球冠构成；重心Q2为球切去上下两个球冠所余的球带，其重心高度为（h+R）。
后来被删去了。

热心网友 时间：2022-07-01 18:50

实际上很容易计算重心，根本不用积分，提示如下：

热心网友 时间：2022-07-01 18:50

积分做法应该很简单，但物理竞赛可能，会避免采用纯积分做法吧.....

设球壳面密度 σ,
以球心为 原点 O，高脚杯旋转对称轴 为 x 轴，杯底指向杯口方向为正方向，根据对称性，重心必然在 x 轴上，设重心位置为 x0, 有
Mx0 = ∫(-R, R-h) σ x dS1 + ∫(-R-h, -R) σ x dS2
其中 M = 4πR^2σ, dS1 = 2πsqrt(R^2-x^2) dx, dS2 = 2πsqrt(R^2-(x+2R)^2) dx
这两个积分应该都不难..... 我就不做了.....

有更简单的方法，我们把高脚杯看作两个部分：用一个距离两球冠接触点，向上高度 为 h 的一个水平面，将高脚杯切为两半：
A) 从下面高度 h 的球冠部分（杯托），以及延伸向上，高度 h 的杯体部分
B) 剩下的缺了两个高度 h 的球冠的部分杯体
A 的重心位置就在接触点，也就是 x 轴上 -R 的位置，质量是 2σS, S 是高为h的球冠面积 S=2πRh
B 的重心位置在原点，也就是 O, 质量是 σ(S0-2S), S0 是球面面积 4πR^2
那么重心位置：M x0 = M(A) x(A) + M(B) x(B)
x0 * 4πR^2σ = -R * 2σ (2πRh)
x0 = -h

热心网友 时间：2022-07-01 18:51

微积分不会用。首先可以确定的是重心在通过球心的竖直线上。
然后你将杯子打到，水平放在桌面上，重心所在的竖线会通过某一平面将杯子分成重量相等的两部分。这个怎么分你得自己算了，我不会
然后两条竖线的交点就是重心了。