为什么矩阵的秩与零空间的维数之和等于矩阵的行数?

发布网友发布时间：2024-02-25 00:06

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热心网友时间：2024-10-12 10:29

这个问题涉及到线性代数中的一个重要定理：矩阵的秩与零空间的维数之和等于矩阵列数或行数之一。
如果我们考虑一个矩阵A，其列数为n。在研究A的行空间时，我们符号常用rk(A)来代表矩阵A的秩。然后，我们可以考虑矩阵A中每个向量所构成的线性组合，这里的向量可以是行向量或列向量。
根据上面提及的定理，矩阵A列空间的维数就是rk(A)，因此它的列空间的基本向量张成了一个rk(A)维的欧氏空间。同样，我们考虑矩阵 A的零空间，它相当于矩阵A的{0}解的集合，并且显然零空间与列空间正交。
假设矩阵A的列空间的维数为k，那么A的零空间的维数就是n-k（也就是剩余未张成的线性空间），这是由于A的列空间和零空间的维数之和始终等于矩阵A的列数。
这样就得到了“维数是n减去矩阵的秩”的公式： n - rk(A) = dim(N(A))
简而言之， “维数是n减去矩阵的秩”的公式是线性代数中使用最广泛的公式之一，它为我们提供了在计算矩阵的零空间时将矩阵的秩应用于线性空间中的一种简单方法。