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一道初中数学题 关于抛物线的

发布网友 发布时间:2022-05-05 00:15

我来回答

3个回答

热心网友 时间:2022-06-27 15:55

说明:这是一道测试一次函数、二次函数、平面直角三角形及直线位置关系等性质的综合题型,求解很繁琐,望提问者注意求解过程。

解:我把图形上传了,请您参考细看解题过程。

(1)

在抛物线y=x^2+px+q中

当x=0时,y=q. 即:C点的坐标为(0,q)。

因为:OA=OC,D点与A点关于y轴对称。

所以:A点的坐标为(q,0);D点的坐标为(-q,0)。

将A(q,0)代人y=x^2+px+q中得:0=q^2+pq+q

即:q(q+p+1)=0

所以:q=0,(不符合题意,舍去。)

      q+p=-1———————————————①

现在求点P的坐标,即抛物线y=x2+px+q顶点的坐标:

横坐标:-(p/2);纵坐标:(4q-p^2)/4.

即:点P的坐标为[-(p/2),(4q-p^2)/4]

再求直线CD的解析式: 设直线CD的方程为y=kx+b

因为直线CD过C(0,q)、D(-q,0)两点,所以有方程组

q=b,  0=-qk+b.

解得:k=1,  b=q.

所以直线CD的解析式为:y=x+q.

因为点P[-(p/2),(4q-p^2)/4]在直线CD上,

所以  4q-p^2)/4=-(p/2)+q

解得: q=0(不符合题意,舍去)

       q=2————————————————②

又已经求得的①、②两等式得:p=2,q=-3.

因此;p、q的值分别为 2和-3.

(2)

因为:p=2,q=-3.

所以:抛物线y=x2+px+q的解析式为y=x^2+2x-3,A、D、C、P四点的坐标分别为(-3,0)、(3,0)、(0,-3)、(-1,-4)。

在第一问中已经求得直线CD的方程式为y=x+q,因此将q=-3代人得:

y=x-3(这是直线CD的解析式)

设:过A点与直线CD平行的直线AQ的方程为:

        y=x+b(因两直线平行,所以一次项系数相等)

因为点A(-3,0)在直线AQ上,将其代人y=x+b中得:0=-3+b,解得:b=3

所以:直线AQ的方程为:y=x+3

下面求直线AQ(y=x+3)与抛物线y=x^2+2x-3的交点Q的坐标:

 解方程组y=x^2+2x-3,y=x+3。得x1=2,y=5;x2=-3,y2=0.

即:两交点为A(-3,0);Q(2,5).

下面再求A、Q两点距离和PD两点距离:从图形可知

|AQ|=√[5^2+(2+3)^2]=5√2

|PD|=√(4^2+4^2)=4√2

所以|AQ|≠|PD|

这说明AQ与PD不相等,所以在抛物线y=x2+px+q上不存在满足四边形APDQ是平行四边形的Q点。

(3)

存在E点,且E点坐标为(9,6)。

具体求解过程如下:

设E点是直线PC上的点,且满足AE垂直AP

求直线AP的方程,设直线AP的方程为y=kx+b

因为A(-3,0),P(-1,-4)两点在直线AP上,所以有方程组

  0=-3k+b,-4=-k+b.解得:k=-2,b=-6.

所以直线AP的方程式为:y=-2x-6

因为直线AE垂直直线AC,所以两直线一次项系数之积等于-1

所以,设直线AE方程式为y=(1/2)x+b

A(-3,0)点在直线AE上,所以有0=(1/2)*(-3)+b 即b=3/2

所以直线AE的方程式为y=(1/2)x+3/2

直线AE与直线CD相交于E点,解两直线方程组成的方程组:

y=(1/2)x+3/2,y=x-3。解得:x=9,y=6.

即E点的坐标为(9,6)。

在三角形ACD中,因为OA=OD=OC,AD垂直CO

所以角ACD是直角,

在直角三角形APE中,AC是斜边PE上的高

所以△APC∽△EPA

  答毕

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热心网友 时间:2022-06-27 15:55

(1)、∵抛物线y=x2+px+q与x轴相交与A,B两点,则方程x2+px+q=0必有两实根,不妨设方程的两根为α、β,则有α+β=-p α*β=q
观察抛物线y=x2+px+q的图象可知
抛物线y=x2+px+q的开口向上,与y轴交于点C的坐标为(0,q),顶点P坐标为(-p/2,[4q-p2]/4)
又因为OA=OC
不妨设点A的坐标为(-q,0)[当然也可以为(q,0)]
显然方程x2+px+q=0必有一实根为-q,
可设α=-q 则β=-1
∴p=q+1
又∵直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称
∴点D的坐标为(q,0)
因此直线PC的方程为x+y=q(由D、C两点的坐标来求)
而点P在直线PC上
∴ [4q-p2]/4-p/2=q
4q-p2-2p=4q
p(p+2)=0
∴ p=-2,p=0(抛物线y=x2+px+q与x轴相交与A,B两点,且OA≠OB,故p=0不合题意,舍去)
因此,q=-3
(2)、∵抛物线上若存在这样的点Q,使得四边形PAQD恰好为平行四边形,则原点O必是平行四边形PAQD的对称中心(因为OA=OD),显然,Q P两点关于原点O中心对称。且点Q在抛物线上。
又顶点P坐标为(1,-4),根据Q P两点关于原点O对称可知点Q的坐标为(-1,4);很明显点Q不在抛物线y=x2-2x-3上
∴抛物线上不存在这样的点Q,使得四边形PAQD恰好为平行四边形。
(3)、由(2)可知点P的坐标为(1,-4),点A的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,-3).
则PA=2√5,PC=√2.
若以点P,A,E为顶点的三角形与△PAC相似,
则PC/PA=PA/PE
PE=PA*PA/PC=20/√2=10√2
DE=PE-PC-CD=10√2-3√2-√2=5√2
过点E作x轴的垂线于F,由于OC=OD,显然DF=EF.
在直角三角形DEF中,可求DF=FE=5.
所以,E点的坐标为(-8,5)

热心网友 时间:2022-06-27 15:56

解:(1)。将A(-1,0),C(0,4)两点的坐标值代入y=ax2+bx-4a中得:a=
-1;b=3
故:此抛物线的解析式为:y=
-x2+3x+4
(2)。易得:B(4,0),故:直线BC的方程为:y=
-x+4
将x=m,y=m+1代入y=
-x2+3x+4中得:m=3→D(3,4)
设D点关于直线BC的对称点为E(x,y),直线DE与BC交点为F。易得:直线DE方程为:y=x+1
将y=x+1和y=
-x+4联立得交点F(3/2,5/2)
由(x+3)/2=3/2;(y+4)/2=5/2→E(0,1)
(3)。
设直线BP的斜率为k,又:直线BD的斜率为-4
由tan(π/4)=(k+4)/(1-4k)→k=
-3/5→直线BP的方程为:y=(12-3x)/5
将y=(12-3x)/5与y=
-x2+3x+4联立得:P(-2/5,66/25)
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