一道初中数学题 关于抛物线的
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发布时间：2022-05-05 00:15
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时间：2022-06-27 15:55
说明：这是一道测试一次函数、二次函数、平面直角三角形及直线位置关系等性质的综合题型，求解很繁琐，望提问者注意求解过程。
解：我把图形上传了，请您参考细看解题过程。
（1）
在抛物线y=x^2+px+q中
当x=0时，y=q. 即：C点的坐标为（0，q)。
因为：OA=OC,D点与A点关于y轴对称。
所以：A点的坐标为（q,0)；D点的坐标为（-q,0)。
将A(q,0)代人y=x^2+px+q中得：0=q^2+pq+q
即：q(q+p+1)=0
所以：q=0,(不符合题意，舍去。）
q+p=-1———————————————①
现在求点P的坐标，即抛物线y=x2+px+q顶点的坐标：
横坐标：-（p/2)；纵坐标：（4q-p^2)/4.
即:点P的坐标为[-（p/2),(4q-p^2)/4]
再求直线CD的解析式： 设直线CD的方程为y=kx+b
因为直线CD过C(0,q)、D(-q,0)两点，所以有方程组
q=b, 0=-qk+b.
解得：k=1, b=q.
所以直线CD的解析式为：y=x+q.
因为点P[-（p/2),(4q-p^2)/4]在直线CD上，
所以 4q-p^2)/4=-（p/2)+q
解得： q=0(不符合题意，舍去）
q=2————————————————②
又已经求得的①、②两等式得：p=2,q=-3.
因此;p、q的值分别为 2和-3.
（2）
因为：p=2,q=-3.
所以：抛物线y=x2+px+q的解析式为y=x^2+2x-3,A、D、C、P四点的坐标分别为（-3，0）、（3，0）、（0，-3）、（-1，-4）。
在第一问中已经求得直线CD的方程式为y=x+q,因此将q=-3代人得：
y=x-3(这是直线CD的解析式）
设：过A点与直线CD平行的直线AQ的方程为：
y=x+b(因两直线平行，所以一次项系数相等）
因为点A（-3，0）在直线AQ上，将其代人y=x+b中得：0=-3+b,解得：b=3
所以:直线AQ的方程为：y=x+3
下面求直线AQ（y=x+3)与抛物线y=x^2+2x-3的交点Q的坐标：
解方程组y=x^2+2x-3，y=x+3。得x1=2,y=5；x2=-3,y2=0.
即：两交点为A(-3,0)；Q(2,5).
下面再求A、Q两点距离和PD两点距离：从图形可知
｜AQ｜=√[5^2+(2+3)^2]=5√2
｜PD｜=√(4^2+4^2)=4√2
所以｜AQ｜≠｜PD｜
这说明AQ与PD不相等，所以在抛物线y=x2+px+q上不存在满足四边形APDQ是平行四边形的Q点。
（3）
存在E点，且E点坐标为（9，6）。
具体求解过程如下：
设E点是直线PC上的点，且满足AE垂直AP
求直线AP的方程，设直线AP的方程为y=kx+b
因为A(-3,0)，P（-1，-4）两点在直线AP上，所以有方程组
0=-3k+b,-4=-k+b.解得：k=-2,b=-6.
所以直线AP的方程式为:y=-2x-6
因为直线AE垂直直线AC,所以两直线一次项系数之积等于-1
所以，设直线AE方程式为y=(1/2)x+b
A（-3，0）点在直线AE上，所以有0=（1/2）*（-3）+b 即b=3/2
所以直线AE的方程式为y=(1/2）x+3/2
直线AE与直线CD相交于E点，解两直线方程组成的方程组：
y=(1/2）x+3/2，y=x-3。解得：x=9,y=6.
即E点的坐标为（9，6）。
在三角形ACD中，因为OA=OD=OC,AD垂直CO
所以角ACD是直角，
在直角三角形APE中，AC是斜边PE上的高
所以△APC∽△EPA
答毕
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时间：2022-06-27 15:55
观察抛物线y=x2+px+q的图象可知
抛物线y=x2+px+q的开口向上，与y轴交于点C的坐标为（0，q），顶点P坐标为（-p/2，[4q-p2]/4）
又因为OA=OC
不妨设点A的坐标为（-q，0）[当然也可以为（q，0）]
显然方程x2+px+q=0必有一实根为-q，
可设α=-q 则β=-1
∴p=q+1
又∵直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称
∴点D的坐标为（q，0）
因此直线PC的方程为x+y=q（由D、C两点的坐标来求）
而点P在直线PC上
∴ [4q-p2]/4-p/2=q
4q-p2-2p=4q
p（p+2）=0
∴ p=-2，p=0（抛物线y=x2+px+q与x轴相交与A,B两点，且OA≠OB,故p=0不合题意，舍去）
因此，q=-3
（2）、∵抛物线上若存在这样的点Q，使得四边形PAQD恰好为平行四边形，则原点O必是平行四边形PAQD的对称中心（因为OA=OD），显然，Q P两点关于原点O中心对称。且点Q在抛物线上。
又顶点P坐标为（1，-4），根据Q P两点关于原点O对称可知点Q的坐标为（-1，4）；很明显点Q不在抛物线y=x2-2x-3上
∴抛物线上不存在这样的点Q，使得四边形PAQD恰好为平行四边形。
（3）、由（2）可知点P的坐标为（1，-4），点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，-3）.
则PA=2√5，PC=√2.
若以点P,A,E为顶点的三角形与△PAC相似，
则PC/PA=PA/PE
PE=PA*PA/PC=20/√2=10√2
DE=PE-PC-CD=10√2-3√2-√2=5√2
过点E作x轴的垂线于F,由于OC=OD,显然DF=EF.
在直角三角形DEF中,可求DF=FE=5.
所以,E点的坐标为(-8,5)
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时间：2022-06-27 15:56
-1；b=3
故：此抛物线的解析式为：y=
-x2+3x+4
（2)。易得：B(4，0），故：直线BC的方程为：y=
-x+4
将x=m，y=m+1代入y=
-x2+3x+4中得：m=3→D(3，4)
设D点关于直线BC的对称点为E（x，y），直线DE与BC交点为F。易得：直线DE方程为：y=x+1
将y=x+1和y=
-x+4联立得交点F（3/2，5/2）
由(x+3)/2=3/2；(y+4)/2=5/2→E（0，1）
(3)。
设直线BP的斜率为k，又：直线BD的斜率为-4
由tan(π/4)=(k+4)/(1-4k)→k=
-3/5→直线BP的方程为：y=（12-3x)/5
将y=（12-3x)/5与y=
-x2+3x+4联立得：P（-2/5，66/25）
