...题【关于平行线等分线段定理,其实也就是中位线】
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发布时间：2024-02-27 08:54
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时间：2024-03-15 09:23
I 过D作AC的平行线，过C作AD的平行线，二者相交于G，延长EF交DG于H。则ACGD是平行四边形，从而对角线AG与CD互相平分，于是A、F、G三点共线且EF是三角形ABG的中位线。这样，EF平行于BG，角DMH=角DBG，角DHM=角DGB。但是DG=AC=BD，所以三角形DBG是等腰三角形，于是角DBG=角DGB，得到角DMH=角DHM。又因为DG平行于AC，角DHM=角ONM，而角DMH与角OMN是对顶角，从而角ONM=角OMN，得到OM=ON。
II 由中位线性质可知，EPFQ是平行四边形，从而EF平分PQ。设EF交PQ于O，则ON是三角形QPC的中位线，于是ON平行于CP且ON=1/2（CP）。另外，FM是三角形BPC的中位线，于是FM平行于CP且FM=1/2（CP）。这样，FMON是平行四边形，对角线互相平分，于是FO平分MN，也即EF平分MN。
III 将三角形DEH旋转180度，使得D与A重合。设C、H、F分别变成I，J，K。则角IKE=角CFE，从而IK平行于BF。但是BF=FC=IK，于是BF与IK平行且相等，即：BFKI是平行四边形，于是BI平行于JG。于是角AIB=角AJG，角ABI=角AGJ。此时由于AI=CD=AB，角AIB=角ABI，于是角AJG=角AGJ。但是角AJG=角DHE，于是角DHE=角AGJ，也即角BGF=角CHF。
IV 由EH=HN知NF=DE=1/2（BC），于是CF=NF-NC=1/2（BC）-（BC-BN）=BN-1/2（BC）=1/2（BM）-1/2（BC）=1/2（BM-BC）=1/2（CM）。从而CF=FM=1/2（CM）。
VI 作B的角平分线，交AC于F。则AB/BC=AF/FC。此时角FBC=角C，于是BFC是等腰三角形。由于E是BC中点，FE垂直于BC，从而FE平行于AD。则AB/BC=AF/FC=DE/EC=DE/（1/2（BC））消去BC，得AB=2DE。
VI 过A分别作BC与EF的平行线，交CD于G、H。则由角D与角C互余可知，DAG是直角三角形。此时ABCG与AEFH均为平行四边形，故GC=AB，HF=AE，AH=EF。则DH=DF-HF=DF-AE=1/2（DC-AB），DG=DC-GC=DC-AB。于是AH是直角三角形DAG的中线，从而EF=AH=1/2（DG）=1/2（DC-AB）。
VII 利用III的结果，延长NM交CA于F，交BA于G。则角AFG=角DGM。但是角DGM=角FGA。于是角BAC=角FGA+角AFG=2 角AFG。从而角HAC=角AFN=1/2（角BAC），于是AH平行于FN，即MN平行于AH。
VIII 本题的叙述有误，应为“AE⊥BM，AF⊥CN”。延长AE，AF分别交BC于G、H。则GBA与HCA均为等腰三角形，BE与CF分别为顶角的角平分线，从而也为底边的中线。这时EF为三角形AGH的中位线，从而EF平行于GH，也即BC。
IX 设BD交CE于O。显然角OBC=角OCB，于是CO是直角三角形BCM的斜边中线，即BO=OM。此时由于MF平行于CE，可知OE为三角形BMF的中位线，于是BE=EF。
X 以数字标记的角的位置？
楼主关于III的解法很漂亮！至于IX，注意到角BCM是直角，于是从“角OBC=角OCB”可以推出角OCM=角OMC，这样OCB和OCM都是等腰三角形，就有BO=OM了。
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时间：2024-03-15 09:20
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时间：2024-03-15 09:27
II 由中位线性质可知，EPFQ是平行四边形，从而EF平分PQ。设EF交PQ于O，则ON是三角形QPC的中位线，于是ON平行于CP且ON=1/2 （CP）。另外，FM是三角形BPC的中位线，于是FM平行于CP且FM=1/2（CP）。这样，FMON是平行四边形，对角线互相平分，于是FO平分 MN，也即EF平分MN。
III 将三角形DEH旋转180度，使得D与A重合。设C、H、F分别变成I，J，K。则角IKE=角CFE，从而IK平行于BF。但是BF=FC=IK，于是 BF与IK平行且相等，即：BFKI是平行四边形，于是BI平行于JG。于是角AIB=角AJG，角ABI=角AGJ。此时由于AI=CD=AB，角 AIB=角ABI，于是角AJG=角AGJ。但是角AJG=角DHE，于是角DHE=角AGJ，也即角BGF=角CHF。
IV 由EH=HN知NF=DE=1/2（BC），于是CF=NF-NC=1/2（BC）-（BC-BN）=BN-1/2（BC）=1/2（BM）-1/2（BC）=1/2（BM-BC）=1/2（CM）。从而CF=FM=1/2（CM）。
VI 作B的角平分线，交AC于F。则AB/BC=AF/FC。此时角FBC=角C，于是BFC是等腰三角形。由于E是BC中点，FE垂直于BC，从而FE平行于AD。则AB/BC=AF/FC=DE/EC=DE/（1/2（BC））消去BC，得AB=2DE。
VI 过A分别作BC与EF的平行线，交CD于G、H。则由角D与角C互余可知，DAG是直角三角形。此时ABCG与AEFH均为平行四边形，故GC=AB， HF=AE，AH=EF。则DH=DF-HF=DF-AE=1/2（DC-AB），DG=DC-GC=DC-AB。于是AH是直角三角形DAG的中线，从而EF=AH=1/2（DG）=1/2（DC-AB）。
VII 利用III的结果，延长NM交CA于F，交BA于G。则角AFG=角DGM。但是角DGM=角FGA。于是角BAC=角FGA+角AFG=2 角AFG。从而角HAC=角AFN=1/2（角BAC），于是AH平行于FN，即MN平行于AH。
VIII 本题的叙述有误，应为“AE⊥BM，AF⊥CN”。延长AE，AF分别交BC于G、H。则GBA与HCA均为等腰三角形，BE与CF分别为顶角的角平分线，从而也为底边的中线。这时EF为三角形AGH的中位线，从而EF平行于GH，也即BC。
IX 设BD交CE于O。显然角OBC=角OCB，于是CO是直角三角形BCM的斜边中线，即BO=OM。此时由于MF平行于CE，可知OE为三角形BMF的中位线，于是BE=EF。
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时间：2024-03-15 09:24
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时间：2024-03-15 09:28
II 由中位线性质可知，EPFQ是平行四边形，从而EF平分PQ。设EF交PQ于O，则ON是三角形QPC的中位线，于是ON平行于CP且ON=1/2 （CP）。另外，FM是三角形BPC的中位线，于是FM平行于CP且FM=1/2（CP）。这样，FMON是平行四边形，对角线互相平分，于是FO平分 MN，也即EF平分MN。
III 将三角形DEH旋转180度，使得D与A重合。设C、H、F分别变成I，J，K。则角IKE=角CFE，从而IK平行于BF。但是BF=FC=IK，于是 BF与IK平行且相等，即：BFKI是平行四边形，于是BI平行于JG。于是角AIB=角AJG，角ABI=角AGJ。此时由于AI=CD=AB，角 AIB=角ABI，于是角AJG=角AGJ。但是角AJG=角DHE，于是角DHE=角AGJ，也即角BGF=角CHF。
IV 由EH=HN知NF=DE=1/2（BC），于是CF=NF-NC=1/2（BC）-（BC-BN）=BN-1/2（BC）=1/2（BM）-1/2（BC）=1/2（BM-BC）=1/2（CM）。从而CF=FM=1/2（CM）。
VI 作B的角平分线，交AC于F。则AB/BC=AF/FC。此时角FBC=角C，于是BFC是等腰三角形。由于E是BC中点，FE垂直于BC，从而FE平行于AD。则AB/BC=AF/FC=DE/EC=DE/（1/2（BC））消去BC，得AB=2DE。
VI 过A分别作BC与EF的平行线，交CD于G、H。则由角D与角C互余可知，DAG是直角三角形。此时ABCG与AEFH均为平行四边形，故GC=AB， HF=AE，AH=EF。则DH=DF-HF=DF-AE=1/2（DC-AB），DG=DC-GC=DC-AB。于是AH是直角三角形DAG的中线，从而EF=AH=1/2（DG）=1/2（DC-AB）。
VII 利用III的结果，延长NM交CA于F，交BA于G。则角AFG=角DGM。但是角DGM=角FGA。于是角BAC=角FGA+角AFG=2 角AFG。从而角HAC=角AFN=1/2（角BAC），于是AH平行于FN，即MN平行于AH。
VIII 本题的叙述有误，应为“AE⊥BM，AF⊥CN”。延长AE，AF分别交BC于G、H。则GBA与HCA均为等腰三角形，BE与CF分别为顶角的角平分线，从而也为底边的中线。这时EF为三角形AGH的中位线，从而EF平行于GH，也即BC。
IX 设BD交CE于O。显然角OBC=角OCB，于是CO是直角三角形BCM的斜边中线，即BO=OM。此时由于MF平行于CE，可知OE为三角形BMF的中位线，于是BE=EF。
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时间：2024-03-15 09:24
