连续函数一定有最大值和最小值吗?

发布网友发布时间：2024-01-03 00:12

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热心网友时间：2024-07-23 17:47

是的，闭区间上的连续函数，必然有最大值和最小值。

设f为R上连续的周期函数。证明：f在R上有最大值与最小值。

证：设f的周期为T，f在[0,T]上连续，【这个周期函数是具有任意性的】

有最大值f(M)和最小值f(m)，M,m∈[0,T]。【在一个周期的闭区间上，下面称[0,T]为第一个周期，符合连续函数在闭区间上的最值定理，即连续函数在闭区间上既有最大值，也有最小值】

任给x∈R，则存在某整数k，使x∈[kT,(k+1)T]，【任何一个实数，都能找到一个周期闭区间，包含这个实数】

x-kT∈[0,T]，从而有f(m)≤f(x)=f(x-kT)≤f(M)，【把上面的周期闭区间平移，使之与第一个周期重合，实数x的函数值与对应x-kT的函数值相等。从而得到“任意函数都在第一个周期的最大值和最小值之间”的结论】

f(M)=max(xϵR){f(x)}，f(m)=min(xϵR){f(x)}，即【因此第一个周期的最大值，就是函数的最大值，第一个周期的最小值，就是函数的最小值】

f在R上有最大值f(M)与最小值f(m)。【由f的任意性得证】

连续函数

连续函数是指函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。

对于这种现象，因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。