4如何利用欧拉公式 e^10=cos+isin 推导出cos3,sin3等公式?
发布网友
发布时间：2023-12-25 08:56
共1个回答
热心网友
时间：2024-08-19 16:44
首先，令 x = 10/3，那么我们有 e^(i*10/3) = cos(10/3) + i*sin(10/3)。
接下来，我们要计算 e^(i*10/3) 的立方。利用指数函数的性质，我们知道 (e^a)^b = e^(a*b)。因此，我们有：
(e^(i*10/3))^3 = e^(i*10) = cos(10) + i*sin(10)。
然后，我们需要对左侧进行展开和简化：
(e^(i*10/3))^3 = (cos(10/3) + i*sin(10/3))^3 = cos^3(10/3) + 3*cos^2(10/3)*i*sin(10/3) + 3*cos(10/3)*i^2*sin^2(10/3) + i^3*sin^3(10/3)。
我们知道 i^2 = -1，i^3 = -i。将这些值代入，化简上述表达式，我们得到：
cos^3(10/3) + 3*cos^2(10/3)*i*sin(10/3) + 3*cos(10/3)*(-1)*sin^2(10/3) + (-i)*sin^3(10/3)。
对于这个表达式，实部和虚部是相互独立的。因此，我们可以分别对实部和虚部进行等式的比较。
实部比较：
cos(10) = cos^3(10/3) - 3*cos(10/3)*sin^2(10/3)。
虚部比较：
sin(10) = 3*cos^2(10/3)*sin(10/3) - sin^3(10/3)。
这样，我们通过欧拉公式 e^ix 推导出了 cos(3x) 和 sin(3x) 的公式：
cos(3x) = cos^3(x) - 3*cos(x)*sin^2(x)，
sin(3x) = 3*cos^2(x)*sin(x) - sin^3(x)。
这就是利用欧拉公式推导出 cos(3x) 和 sin(3x) 的过程。
