证明:二次型经满秩线性变换后,其正定性不变.

发布网友发布时间：2023-12-29 13:56

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热心网友时间：2024-03-31 23:08

【答案】：证设n元二次型f(x)=xTAx经满秩线性变换x=Cy后化为

现设xTAx为正定二次型，即对于Rn中任意非零向量xT都有xT.Ax ＞0，因而对Rn中任意非零向量y0，注意x0=Cy0≠0，从而有

所以二次型yTBy，正定.同理可证，当yTBy正定时，xTAx也正定.故二次型xTAx与yTBy有相同的正定性(或者都为正定二次型，或者都不是正定二次型).本题也证明了：矩阵A与CTAC(其中矩阵C为可逆矩阵)有相同的正定性，即合同的实对称矩阵有相同的正定性.

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