被插值函数f(x)=3x+2,则3次代数插值问题的Newton插值多项式为?
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发布时间：2023-12-21 13:09
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时间：2024-01-16 13:55
插值节点通常选择待插值点，此处我们选择 $x = 0, 1, 2$，对应的函数值为 $y = f(x) = 3x + 2$。
然后，我们可以使用 Newton 插值公式来计算插值多项式。
Newton 插值多项式 $P_n(x)$ 在 $n$ 个节点 $(x_0, y_0), (x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)$ 的定义为：
$P_n(x) = y_0 + \frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)} (y_1 - y_0) + \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} (y_2 - y_0) + \ldots + \frac{(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1})}{(x_n-x_0)(x_n-x_1)\cdots(x_n-x_{n-1})} (y_n - y_{n-1})$
将节点 $(0, 2), (1, 5), (2, 8)$ 带入公式中，得到：
$P_3(x) = 2 + \frac{(x-0)}{(1-0)} (5 - 2) + \frac{(x-0)(x-1)}{(2-0)(2-1)} (8 - 5) + \frac{(x-0)(x-1)(x-2)}{(3-0)(3-1)(3-2)} (5 - 2)$
计算得：
$P_3(x) = 2 + 3x + 3(x^2 - x) + (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = x^3 + x^2 + x + 1$
所以，对于 $3$ 次代数插值问题的 Newton 插值多项式为 $P_3(x) = x^3 + x^2 + x + 1$。
