r( A)= r( A)可推出r( AA)= r( A)吗?
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发布时间：2023-12-23 07:56
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热心网友
时间：2024-01-12 02:13
A是实矩阵就可以实矩阵是指A中元素都是实数不一定是对称矩阵，此时r（A^TA）=r（A）证明方法是用齐次线性方程组AX=0与A^TAX=0.
秩（rank）是矩阵的一个重要概念，表示矩阵中线性无关的行或列的最大个数。对于矩阵A和它的转置矩阵A的转置（记作A^T），有如下结论：
当A是一个m×n的矩阵时，A的秩（记作r（A））等于A乘A的转置（AA^T）的秩（记作r（AA^T））。同时，AA^T也是一个m×m的矩阵。
这个结论可以通过线性代数中秩的定义和矩阵乘法的性质来证明。
设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×m的矩阵。矩阵乘积C=AB是一个m×m的矩阵。
根据秩的定义，r（A）是A中线性无关的行或列的最大个数，r（AA^T）是AA^T中线性无关的行或列的最大个数。
对于矩阵乘积C=AB，根据矩阵乘法的性质，C的行向量是A的行向量与B的列向量的线性组合。当C的行向量线性无关时，其线性无关的行的最大个数等于r（C）。
现在考虑C=AA^T，它的行向量是A的每一行与A^T的每一列的点乘结果。由于矩阵转置后的行向量等于原矩阵的列向量，所以C的行向量等于A的每一行与A的每一列的点乘结果。因此，C的行向量的线性无关性与A的行向量的线性无关性相同。
因此，r（A）=r（C）=r（AA^T），所以A的秩等于A乘A的转置的秩。
这个结论在线性代数中经常被使用，它与矩阵的内积和正定性等概念密切相关，并在各种应用中得到广泛的应用。
热心网友
时间：2024-01-12 02:14
设A是n阶矩阵，则r(A)表示A的秩，也就是A的行向量组或列向量组的极大无关组中所含向量的个数。而r(AA)则表示AA的秩。
一般来说，r(A)与r(AA)之间并没有直接的关系。例如，如果A是满秩矩阵，即r(A)=n，那么r(AA)=n，但是如果A不是满秩矩阵，则r(AA)可以小于n。
因此，不能由r(A)=r(A)推出r(AA)=r(A)。
r( A)= r( A)可推出r( AA)= r( A)吗?
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设A是m*n实矩阵,证明:R(A'A)=R(AA')=R(A)
所以 r(A) = r(A'A).同理有 r(A') = r((A')'A') = r(AA')而 r(A') = r(A)所以 r(A)=r(A'A)=r(AA').
任意n*m矩阵A R(A)是否等于R(AA') 对的请证明 错的举反例
但是对于实矩阵来讲是对的，利用A'x=0和AA'x=0同解可以推出R(AA')=R(A')=R(A)，也可以用SVD证明。补充：既然有人提到记号问题了，顺便解释一下。A的转置共轭的标准记号是A^*，在线性代数领域另一个流行的记号是A^H，不过不如A^*的使用面广，两者都不需要声明就可以使用。A^T是转置的...
...A与A的转置A'的乘积的秩等于A的秩,即r(AA')=r(A).
故两个方程是同解的。同理可得 r(AA')=r(A')另外 有 r(A)=r(A')所以综上 r(A)=r(A')=r(AA')=r(A'A)
证明:对任意实矩阵A,有r(ATA)=r(AAT)=r(A)
简单分析一下，详情如图所示
证明:对任意矩阵A,有r(AA*)=r(A*A)=r(A)。
中秋快乐！你的理解是正确的，这个结论确实不对，正确的结论是r(AA^T)=r((A^T))=r(A)，其中A^T是A的转置矩阵。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！
为什么a的秩等于aa的秩, r(a)= r(a)
A的秩＝A的行秩＝A的列秩，A^T是A的行列互换，所以r(A) = r(A^T)。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为rk(A)或rank A。aat的秩相关介绍：R(AB)<=min{R(A),R(B)}，非零列向量秩等于1，所以R(AAT)<=1，A和AT相乘肯定有不为零的元素，...
...即r(AA')=r(A).的解答 问下如果如果是在复数域上
r（A的共轭转置*A）=r(A)，证明中把原来的转置都改为共轭转置就行了
矩阵秩的问题,R(AB)≤min(R(A),R(B)),那为什么又有R(AA^T)=R(A),
简单计算一下即可，答案如图所示
线性代数 R(A)=R(ATA) 如何证明?
若r(A)=k,那么可以用Gauss消去法把A消成梯阵,即CA=U,其中C是行初等变换的乘积,U仅有前k行非零且线性无关。于是CAA^TC^T=UU^T,UU^T具有B 00 0的分块结构,其中B是k阶的满秩矩阵。又C是可逆的,所以r(AA^T)=r(B)=k=r(A)。再利用r(A)=r(A^T)得r(A^T*A)=r(A^T)。 参考资料: ...
