求辅助角公式的详解

发布网友 发布时间：2022-05-02 19:29

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热心网友 时间：2022-06-26 09:26

辅助角公式就是 acosx+bsinx=根号(a^2+b^2)sin(x+φ),其中tanφ=a/b详解如下：

热心网友 时间：2022-06-26 09:27

对于acosx+bsinx型函数，我们可以如此变形acosx+bsinx=√(a^2+b^2)(acosx/√(a^2+b^2)+bsinx/√(a^2+b^2))，令点(b,a)为某一角φ终边上的点，则sinφ=a/√(a^2+b^2),cosφ=b/√(a^2+b^2)∴acosx+bsinx=√(a^2+b^2)sin(x+arctan(a/b))这就是辅助角公式。设要证明的公式为acosA+bsinA=√(a^2+b^2)sin(A+M)
(tanM=a/b)证明证明过程设acosA+bsinA=xsin(A+M)∴acosA+bsinA=x((a/x)cosA+(b/x)sinA)由题设,sinM=a/x,cosM=b/x
,（a/x)^2+(b/x)^2=1∴x=√(a^2+b^2)∴acosA+bsinA=√(a^2+b^2)sin(A+M)或acosA+bsinA=√(a^2+b^2)cos(A-M)
,tanM=sinM/cosM=a/b
(a,b)由其所在象限确定。

热心网友 时间：2022-06-26 09:27

三角函数辅助角公式推导：
asinx+bcosx=√(a²+b²)[asinx/√(a²+b²)+bcosx/√(a²+b²)]
令a/√(a²+b²)=cosφ，b/√(a²+b²)=sinφ
asinx+bcosx=√(a²+b²)(sinxcosφ+cosxsinφ)=√(a²+b²)sin(x+φ)
其中，tanφ=sinφ/cosφ=b/a，
φ的终边所在象限与点(a,b)所在象限相同。
简单例题：
（1）化简5sina-12cosa
5sina-12cosa
=13(5/13sina-12/13cosa)
=13(cosbsina-sinbcosa)
=13sin(a-b)
其中，cosb=5/13,sinb=12/13
（2）π/6<=a<=π/4
,求sin²a+2sinacosa+3cos²a的最小值
令f(a)
=sin²a+2sinacosa+3cos²a
=1+sin2a+2cos²a
1+sin2a+(1+cos2a)(降次公式)
=2+(sin2a+cos2a)
=2+根号2sin(2a+π/4)(辅助角公式)
因为7π/12<=2a+π/4<=3π/4
所以f(a)min=f(3π/4)=2+(根号2)sin(3π/4)=3

热心网友 时间：2022-06-26 09:28

对于acosx+bsinx型函数，我们可以如此变形acosx+bsinx=√(a^2+b^2)(acosx/√(a^2+b^2)+bsinx/√(a^2+b^2))，令点(b,a)为某一角φ终边上的点，则sinφ=a/√(a^2+b^2),cosφ=b/√(a^2+b^2)
∴acosx+bsinx=√(a^2+b^2)sin(x+arctan(a/b))
这里申明b必须为正！
这就是辅助角公式．
设要证明的公式为acosA+bsinA=√(a^2+b^2)sin(A+M)
(tanM=a/b)

热心网友 时间：2022-06-26 09:29

asinx+bcosx=根号(a^2+b^2)sin(x+p),其中sinp=b/根号(a^2+b^2),cosp=a/根号(a^2+b^2),所以tanp=b/a,
这是因为由两角和公式cospsinx+sinpcosx=sin(x+p)
原式=根号(a^2+b^2)（（a/根号(a^2+b^2)）sinx+（b/根号(a^2+b^2)）cosx）=根号(a^2+b^2)sin(x+p),
公式中这样设p角的目的是由于sinp*sinp+cosp*cosp=1，这个可以自己验证一下。