证明:当0<x<π时,∑(n=1到∞)1/(2n-1)*sin(2n-1)x=π/4
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发布时间：2023-12-29 09:00
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时间：2024-03-22 13:13
f(t)
=
sum
(1/2n-1)*sin(2n-1)x*t^(2n-1)
Dirichlet判别法告诉我们，f(t)在[0,1]上处处收敛。幂级数的阿贝尔定理说，如果一个幂级数在一点处收敛，那么它也在该点处连续。借此，我们将求出f(1)。
根据幂级数的性质，f(t)在(0,1)内可以逐项微分，所以
f'(t)
=
sum
sin(2n-1)x*t^(2n-2)
利用复数的欧拉公式，将f'(t)视作收敛复级数
(1/t)*sum
(e^(ix)(t)^(2n-1)
的虚部，可以求得
f'(t)
=
(sin
x*(1+t^2))/(t^4
-
2t^2*cos(2x)
+
1)
另一方面，明显地，f(0)=0。所以根据阿贝尔定理，
f(1)
=
int
f'(t)
dt
积分从0积至1。将前述f'(t)的表达式代入，这是一个关于t的有理积分。我们用部分分式：
f'(t)
=
(1/2)*sin
x
*
(1/(t^2
+
t*cos
x
+
1)
+
1/(t^2
-
t*cos
x
+
1))
计算上述积分，即得所求
