...用来求极限还有N阶导数?到底要怎么弄啊。不要网上抄的。
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发布时间：2023-12-28 07:26
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时间：2024-07-20 15:03
泰勒公式，就是把一个函数展开成N项和，并且可以用通项公式描述。
泰勒公式的作用很多，比如可以把无穷级数进行展开，或者求和。
所谓余项（具体来说是n阶余项）就是f(x)-g(x), 记为R(x)。所谓Peano余项实际上是指出了R(x)的性质：x->x0时，R(x)/(x-x0)^n->0。
由小o的定义，上面这个式子可以换种表达方式，写成R(x)=o((x-x0)^n), x->x0，将此式代入f(x)=g(x)+R(x)，就得到了书上给的“带Peano余项的Taylor公式”。
n阶导不为0且前n-1阶导都为0时,f(x)是O(x^n),不是o(x^n)
前n阶导等于零时,f(x)是o(x^n)
这里说的n阶无穷小是指的O(x^n)。
扩展资料：
泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面：
1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。
2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。
3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。
4、证明不等式。
5、求待定式的极限。
参考资料来源：百度百科-泰勒公式
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时间：2024-07-20 15:04
求极限主要是用在L'Hospital法则中，例如用sinx=x,cos=1-x^2/2
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时间：2024-07-20 15:08
泰勒公式的作用很多，几乎万能。比如它可以把无穷级数进行展开，或者求和。
具体的用法在学无穷级数的时候就会学到。
泰勒公式一般不需要自己去逐阶求导，那样很麻烦。有许多现成的公式可以用，书上都有的~
补充：考研时的用法：求不定式的极限，证明不等式，求n阶导数，证明特征点存在性，确定无穷小的阶。具体的不是一时半会儿能说明白的，要看大量例题，需要买教材或上考研培训班。
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时间：2024-07-20 15:11
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时间：2024-07-20 15:04
Taylor公式，简单来说就是给定正整数n和点x0, 对于一个n次可导的函数f(x), 希望给出一个n次多项式g(x)（称为n阶的Taylor多项式），使得g(x)与f(x)在x0附近充分接近(不只是函数值，包括各阶导数值)。这个g(x)就是书上写得那一大串，虽然复杂，但你心里要清楚g(x)就是一个关于变量x的n次多项式，项x^k前面的系数就是f_k(x0)/k!, 这里f_k(x0)指的是f的k阶导数在x0点的取值，是一个常数。再强调一下，Taylor公式里面x是变量(取定点x0和阶n以后)，主部g(x)虽然复杂，本质上无非是一个n次多项式，复杂之处在于系数用到了f的k阶导数在x0点的取值。
下面谈余项。所谓余项（具体来说是n阶余项），很简单，就是f(x)-g(x), 记为R(x). 所谓Peano余项实际上是指出了R(x)的性质：x->x0时，R(x)/(x-x0)^n->0. 注意，此式之所以成立，是因为g(x)选得足够巧妙，具体的证明若有兴趣可以参看课本。由小o的定义，上面这个式子可以换种表达方式，写成R(x)=o((x-x0)^n), x->x0. 将此式代入f(x)=g(x)+R(x)，就得到了书上给的“带Peano余项的Taylor公式”。
另一类余项是Lagrange余项。Peano余项指出了R(x)在x->x0时的性质，实际上是个极限式而非等式。Lagrange余项则给出了R(x)的一个等式表达，其中含有一个介于x和x0之间的中值c. 对于c的具体值我们不知道，往往也不关心，只要知道存在这样的c即可。Lagrange余项可以看做Peano余项的进一步发展，但要注意此时条件中的可导性要强一点。
学了幂级数以后，对于Taylor公式的认识应该更深一步。把一个函数展成幂级数，实质上就是在Taylor公式中令n->∞，这样余项中的不确定性就消除了，Taylor公式变为了一个精确的幂级数的等式，显然更利于应用。当然，这样做需要有条件，因此要考虑幂级数的收敛域等一系列问题。
在实际应用中，首先要解决求Taylor公式的问题。注意，除了书上的几个基本函数，如sinx, (1+x)^a, ln(1+x)等(在x=0处)，求具体函数的Taylor展开时一般不直接用定义，而用间接法，也就是利用已知函数的Taylor展开来求，具体方法很多书上都会讲。需要注意的是间接法的理论基础，实际上这里用到了Taylor公式的唯一性。
Taylor公式是一元微分学的顶峰和集大成者，相当多的问题都可用其解决。但Taylor公式也不是万能的，并非所有问题都能用Taylor公式，尤其是当可导性不够是。即使能用，也有可能是杀鸡用牛刀。这没法一概而论Taylor公式适用于何种题，需要具体问题具体分析，并且积累一定经验。但我可以谈谈我的感受。
一般来说，涉及某些具体初等函数的问题，如果这些函数的Taylor展开比较容易求的话，常常可以用到Taylor公式。常见的问题是利用带Peano余项的Taylor展开求比较复杂函数在某点附近的阶，进而求极限之类。另外，有些函数在某点处的n阶导数不太好求，但是在该点的Taylor展开用间接法比较容易求，此时，可以用Taylor展开反求函数的高阶导数。
有些问题不仅仅是考虑极限，这时常常需要给出等式的Lagrange余项。典型例子是某些中值问题。
特别值得注意的是，Taylor公式不仅仅用于具体函数，常常也用在比较抽象的问题上。一个基本的例子是利用高阶导数判断函数在驻点是否取极值，取何种极值。也经常利用带Lagrange余项的Taylor公式，用函数的高阶导数控制低阶导数（或函数本身）。这一类的应用往往比较灵活，也较有难度。
在应用中不要流于形式，要理解为什么可以且需要这么用。比如在求函数阶的问题时，需要确定Taylor公式展开到多少阶够用，初学时这问题有些棘手，但只要理解了这种方法的内在逻辑并且明确目标，即使展少了在过程中也能看出问题，展多了的话在过程中也很容易看出来“浪费”了，经过几次就能对展开的大致阶数有个快速的估计。相反，如果只是照猫画虎不知所以然，自己做的时候很容易摸不着头脑，也没有纠错能力。
在应用时还要注意灵活。前面理解的时候是固定x0与n, 把x看作变量。但实际应用中，有时不只在一点展开，有时需要取不同的n, 这些技巧可以慢慢积累。
