学习三角函数小技巧??
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发布时间：2022-05-04 13:12
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时间：2022-06-22 05:31
三角函数是函数的一种，所以研究的方法与研究一次、二次、指数、对数等函数的方法相同。一般来说就是定义、图像、性质、应用……但是它又有自己独特的一面，以角为自变量，具有周期性……学明白的同学会感觉三角函数非常简单，而不理解的同学学起三角函数就非常吃力。在这里，我将以三角函数为例，写一些关于函数教学尤其是三角函数教学中的感觉与朋友们共赏！希望有兴趣的朋友共同参与，让我们取长补短，共同进步。
目录：
一、函数学习的几个步骤；
二、三角函数学习的序曲；
三、表示法中的过渡；
四、几个定义的对照；
五、同角关系式的运用；
六、诱导公式的理解；
七、三角函数的图像与性质的深入思考；
八、平移与伸缩变换的引申；
九、和角与差角公式的推导指引；
十、倍角余弦公式的变形应用；
十一、解三角形的几个关键点；
小结：1、学习线索；2、学习重点；3、学习技巧．
一、函数学习的几个步骤
先送小诗一首
学函数
函数函数定义铺路， 式子摆出，再*参数，
定义域优先，值域断后，
图像是小名，性质是辅助，
拓展要洒脱，应用要把握好步骤，
学吧，学吧，请走出自己的路。
1、学习某个函数肯定是先学习定义，而定义一般是用函数式来定义的，并且定义式中的参数一般会有一定的*。如：一次函数y=ax+b，a不为0。
2、定义域优先应该说所有的老师都明白，但是应用的时候就可能会忘记，事实上在方程与不等式的研究中也应该有“定义域”优先的原则。缺少了定义域就不是完整的函数的定义了。而函数的值域是由解析式与定义域唯一确定的，所以一般不写。但它是研究的重点，研究的方法也非常多，并且不同的函数研究的方法不一样。
3、图像也是表示函数的一种方式，它直观，用其研究性质或是直接解题会很方便。性质只是对函数的一种深入思考，研究时不能受到局限。
4、拓展包括定义与性质，比如研究参数对函数的影响，值域中要研究最大最小值，奇偶性应该研究其它的对称性等；函数应用题的思考步骤应该是：？是自变量，？是函数，什么关系？，定义域怎么样？，……
5、谈谈函数定义中的参数对单调性的影响
各位朋友有没有注意到这一点：
函数定义中的参数对函数的单调性产生直接的影响……
（1）一次函数：a>0时，单调增；a<0时，单调减；
（2）二次函数：a>0时，减后增；a<0时，增后减；
（3）三次函数：a>0时，一直增或是增减增；a<0时，一直减或是减增减；
（4）指数函数与对数函数：当0<a<1时，减；当a>1时，增；
……
二、三角函数学习的序曲
再送小诗一首
推广角
角角角，锐角直角加钝角，皆为图形角；
有始有终旋转角，有逆有顺任意角，放入直角坐标后，终边确定解析角；
锐角钝角是单区角，象限角为多区角，直角只是一个角，象限间角是多个角；
角角角，用度做单位太蹩脚，改用弧度才真正吹起函数的号角。
1、用平面内从一点发出的两条射线所构成的图形来定义角，是中学生最先学到的角的概念，这种定义下的角叫图形角；
2、由平面内的一条确定的射线绕起点旋转而形成的角，定义为旋转角，开始的射线为角的始边，终止的位置射线为终边，旋转角的范围可以达到一周；
3、把上述的逆时针方向旋转而成的角定义为正角，顺时针方向旋转而形成的角定义为负角，转过的度数定义为角的大小，此时的角为任意角；
4、为了研究三角函数我们使任意角的始边与x的非负半轴重合，这样被确定的角我们（也许只有我自己）把它叫做解析角。此时一个终边可以确定无限多个任意角；
5、用弧的长度与对应圆的半径的比值来度量角，就是我们引入的弧度制，所以弧度就是用弧来度量的意思；
6、省略了角的弧度这个单位之后，角的大小就与实数产生了一一对应的关系，这为研究三角函数提供了必要的前提条件；
7、角的再发展
当角在平面上感觉有点郁闷的时候，它就开始了新的旅程：
（1）异面直线所成的角；
（2）斜线与平面所成的角；
（3）二面角；
三、表示法中的过渡
一般来说，我们表示函数习惯于用y=f(x)表示，其中x表示自变量，y表示函数，f表示对应关系。那么我们有没有注意到，学习三角函数的过程中：
1、初中就学习了三角函数，但是没有说什么是自变量，什么是函数。只是在直角三角形中，定义了锐角a的正弦、余弦、正切。
2、高中把角推广到任意角之后，给出三角函数的定义时，使用的角仍然为a，只是定义用解析角的终边上的任意一点的坐标和该点到原点的距离来定义（特别地，也可用终边与单位圆的交点的坐标定义），知道这是为什么吗？
3、在研究三角函数的图象与性质的时候， 才把正弦函数的解析式写成y=sinx，余弦写为y=cosx......
教学中，千万不要忽略这一点，教材这样处理是有它自已的道理的。
四、几个定义的对照
1、初中学习了在直角三角形中定义锐角的三角函数，定义过程没有任何理由，利用定义可以根据两个特殊三角形记忆三个特殊角的三角函数值；
2、在直角坐标系中，用角的终边与单位圆的交点纵坐标定义正弦，用横坐标定义角的余弦，……，利用这个公式容易证明同角关系式，容易看出不同象限角的各个三角函数值的符号，也容易得到相关的诱导公式；
3、单位圆中的三角函数线也是三角函数的定义，只不过是用有向线段的数量来定义的，利用这个定义容易画出三角函数的图像，解决一些比较大小的问题或是求三角函数值；
4、利用角的终边上的任意一点的坐标与该点到坐标原点的距离来定义，这个定义是上述二者中所述定义的一般形式，可以用来解决一般的问题；
5、在整个三角函数定义的过程中，让我们感觉到了学习的知识是在不断地发展中的，知识的内在联系非常密切，应该体会同一性之中有着自己的特点。
五、同角关系式的运用
新教材中，重点学习两个同角关系式，一个是平方关系的，另一个是商数关系的。两个公式各有应用，运用时应该注意以下几点：
1、平方关系可以完成正余弦的互求，注意开方时应该有两个平方根，所以在角未受到一定的*时，应该仔细考虑结果的符号，而无*时就应该讨论了。
2、商数关系的最大应用是“弦切互化”。注意与“余角余函数”公式对应学习与结合运用。
六、诱导公式的理解
（1）诱导公式在教材上占了较大篇幅，从诱导公式（一）到诱导公式（六），最后结果是：较差的学生死记硬背，学一个忘一个；中等的学生似懂非懂，会做一些简单的题；优秀生学完之后，感觉太简单了，不知道为什么还要论述那么久？你的学生是不是这样呢？
（2）有一个口诀：“奇变偶不变，符号看象限。”多数的学生都知道，但是知其然不知其所以然。所以，好多的学生不会用。追究其原因，仍然是不理解造成的。
（3）这些公式的形式都是从一个三角函数转化成另一个三角函数，可以同名也可以不同名。那么，我们为什么要转化呢？求值？求角？还是？
（4）复杂之中，有着一丝不变的线索，它是什么呢？——“角的变化”。事实上是把终边相同或是关于x轴、y轴或是坐标原点对称的角与角之间建立起来的等量关系。这些公式能把角从一个象限转化到其它象限中，或者说是与其它象限中的某些相关角建立联系。我们把这种联系的起源选定，其它就都是利用上述公式“*”与“引导”而来。在做题目的时候，可以有上述的体会。
（5）例如：已知sinA=-1/2，A在第四象限，请把A角表示出来。熟练的老师或是学生，可能一下就可以看出，有一个特角-30度，再加上360度的整数倍就可以了。但不熟练的学生怎么办呢？用诱导的办法就可以完成。第一步：在锐角中找一个角，使它的正弦值为1/2，那么当然是30度了。第二步：把30度诱导到第四象限，可以就是-30度，也可以是360度减去30度，第三步：把第二步的角再加上360 度的整数倍就可以了。如果想诱导到第二象限，只需用180度减；如果想诱导到第三象限，就用180 度加就好了。
（6）诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”的正确性可以用“和差角公式”去验证，sin(π/2-x)=sin(π/2)cosx-cos(π/2)sinx=cosx。辅助角公式配合单位圆，用数量积定义去理解，acosx+bsinx=(a,b)·(cosx,sinx)，对于学生进一步理解所学知识是非常有好处的。同时，我们也不能不看到，原来的思路与方法和公式可能解决的问题是不可代替的。
七、三角函数的图像与性质的深入思考
1、三角函数图像的作法与其它函数的图像的作法相同，基本步骤应该是：
（1）确定函数定义域，值域；
（2）研究单调性与奇偶性等性质；
（3）取关键点列表描点；
（4）结合函数的变化速度与变化趋势连线作图；
2、与其它函数不同的就是周期性，体会最小正周期，与起点的位置无关；
3、三角函数线是三角函数的几何定义，它把三角函数值准确的用有向线段的数量表示出来，这为准确描点提供了保障；
4、由于图像本身就是函数的定义的一种形式，所以对函数图像的研究就显得非常的重要，而函数的性质都写在函数的图像上，所以不必太追究性质是什么、分几条，而应该让学生学会读懂函数的图像语言，会运用函数的图像解题就可以了；
5、所谓深入思考就是体会函数=Asin(wx+q)+b中的各个参数对函数图像的影响，对性质的影响，这一点应该与其它函数对照研究；
6、关于正弦与余弦函数图像与性质的再思考
（1）单调区间的长度为最小正周期长度的一半，单调区间的两个端点是函数取到最值的点；
（2）函数图像与x轴（平衡位置）的交点都是它们的对称中心，过最大或最小值点垂直于x轴（平衡位置所在的直线）的直线都是它们的对称轴。相邻的对称中心或是两个对称轴之间的距离应该是周期的一半；
（3）两个函数图像形状相同，只是在坐标系中的位置不同，它们左右位置差周期的1/4；
（4）对于函数y=Asin(wx+q)+b或y=Acos(wx+q)+b来说，对以上三条只需进行稍微的修改即可。
八、平移与伸缩变换的引申
有好多的学生在平移与伸缩变换的时候会混淆，知其然不知所以然……。下面提出几个问题，请各位朋友一起思考，你们在教学的时候是否对它们进行了研究？
1、对于平移口诀：“左加右减，上加下减”的理解……左是x轴的负半轴，为什么要加呢？右是x轴的正半轴，为什么要减呢？上是y轴的正半轴，加就好理解了，下是y轴的负半轴也是一回事。
2、对于左右平移与横坐标的伸缩变换，如果先后顺序倒置，则平移的量就可能不一致，这是为什么呢？
3、把平移与伸缩变换推广到一般情况应该是什么样的？关键在什么地方？
4、左右与上下平移变换与沿某向量平移的关系如何？
5、对函数的平移与对曲线的平移有区别吗？
6、平移函数的图像与坐标变换怎样进行区别？各有什么优点？
1、对于平移口诀：“左加右减，上加下减”的理解……左是x轴的负半轴，为什么要加呢？右是x轴的正半轴，为什么要减呢？上是y轴的正半轴，加就好理解了，下是y轴的负半轴也是一回事。
这个问题其实是这样的：向左移，每点的横坐标都在减少，应该把横坐标减去移动的量。但是，你必须把函数式y=f(x)变成x=g(y)的形式之后完成。比如：你把函数图像向左平移了2个单位，那么，函数式x=g(y)应该变为：x=g(y)-2。而这个式子变形之后就是：y=f(x+2)了。
别的还用说吗？
2、对于左右平移与横坐标的伸缩变换，如果先后顺序倒置，则平移的量就可能不一致，这是为什么呢？
同问1的回答：把函数y=f(x)变形为x=g(y)，如果向右平移a个单位，则变为x=g(y)+a，再伸缩为原来的b倍，则变为x=b[g(y)+a]，解得：y=f[(1/b)x-a]；如果横坐标先伸缩为原来的b倍，则变为x=bg(x)，再向右平移a个单位，则变为x=bg(y)+a，解得：y=f[1/b(x-a)]。显然所得两函数表达式不同……
3、把平移与伸缩变换推广到一般情况应该是什么样的？关键在什么地方？
（1）如果把函数y=f(x)的图像向左平移a个单位，然后再把每个点的横坐标变为原来的b倍，则所得图像对应的函数解析式为：y=f(bx+a)；
（2）如果把函数y=f(x)的图像每个点的横坐标变为原来的b倍，然后再把图像向左平移a个单位，则所得图像对应的函数解析式为：y=f[b（x+a)]；
仔细分析，左右的平移与每点横坐标的伸缩都是对自变量x而言的，只对x做相应的处理。
4、左右与上下平移变换与沿某向量平移的关系如何？
左右的平移就是向量的横坐标，上下的平移就在于向量的纵坐标，横与纵坐标的符号代表平移的方向。目标相同，路径不同罢了。
5、对函数的平移与对曲线的平移有区别吗？
函数本身就是方程，所以函数图像就是曲线，所以对曲线的平移方法可以直接用到函数中来。但是，对函数图像的平移口诀“左加右减”不可以直接用到曲线的平移之中……原因应该由上面的可以知道了。
6、平移函数的图像与坐标变换怎样进行区别？各有什么优点？
这两者都可以完成同样的事，那就是简化我们要研究的函数表达或是曲线的方程，优点也与些类似。各自的优点可以通过例题来体会，不多述了。
九、和角与差角公式的推导指引
(1)cos(A-B)
(2)cos(A+B)
(3)sin(A-B)
(4)sin(A+B)
(5)tan(A-B)
(6)tan(A+B)
(7)sin2A
(8)cos2A
(9)tan2A
(10)sinAcosA
(11)(sinA)^2
(12)(cosA)^2
(13)asinA+bcosA
(14)tanA+tanB
(15)用tanA表示sin2A，cos2A，tan2A
(16)……
上述公式，每天推导三次，连续推导三天，题可做，分可拿……
请注意，是推导不是背公式啊！
十、倍角余弦公式的变形应用
公式：cos2A=(cosA)^2-(sinA)^2=1-2(sinA)^2=2(cosA)^2-1
公式变形：(sinA)^2=1/2(1-cos2A)；(cosA)^2=1/2(1+cos2A)
上述公式与正弦二倍角公式的变形统称“降幂公式”，对化简三角函数式为Asin(wx+b)的形式起到非常重要的作用。
十一、解三角形的几个关键点
1、三角形本身就是已知条件：（1）内角和定理；（2）边角大小关系；
2、正弦与余弦定理：注意应用时解的取舍；
3、面积公式：注意用内切圆半径时，把三角形一分为三的方法，学会推导海*式；
4、三角形的重心、内心、外心及垂心；
小结：
1、学习线索
三角函数与其它函数一样，学习的步骤是：
（1）定义；（2）定义域；（3）图像；（4）性质；
但也有本身的特点，如周期性、对称性等，所以在上述步骤中应该适应加入：
（1）同角关系式；（2）诱导公式；（3）两角和与差公式；（4）倍角公式……；
那么加在什么地方？怎么加呢？
2、学习重点
刚好回答上面的问题，那些公式都是由定义直接可以得到的，可以看成是对定义的引申。在教学时应该紧紧围绕三角函数的定义去教学。所以，三角函数的教学重点就是三角函数的定义。
3、学习技巧
三角函数难点在三角变换，所以三角变换的技巧就是学习三角函数的技巧。一般来说可以从三个方面考虑：
（1）从角上考虑：用已知角表示未知角，教材上的例题与习题都有渗透；
（2）从函数的名称上考虑：注意把握弦与切的互化，正弦与余弦之间的转化；
（3）从式子的结构上考虑：公式的每一种变形都是一道很好三角题目，只有掌握了公式的全部变形才能应用得手。如：tanB+tanC=？一般的学生不知道，尤其是当B+C为特殊角的时候，它就完成了正切和与正切积的转化；
一般来说，上述三个方面应该同时考虑，解决了一两个方面，其它方面自然平衡，题目可以顺利完成。
