基本群是什么?

发布网友发布时间：2024-02-12 19:42

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热心网友时间：2024-02-23 07:15

假设X是S^2去掉三个点，Y是T^2去掉3个点。

先说X的基本群是Z*Z。S^2去掉一个点之后是R^2，所以X就是R^2去掉两个点p和q。它可以形变收缩成为两个S^1的wedge（就是两个S^1，恰好有一个公共点），这两个S^1的基本群的生成元分别是绕p和绕q一圈。而两个S^1的wedge的基本群，按vam Kampen，是Z*Z。

再说Y的基本群是Z*Z*Z*Z。T^2看作一个正方形ABCD粘合对边所得，不妨使去掉的三个点在这个正方形的里面（而不在被粘的边上），如果只是去掉一个点，那么我们知道这个正方形就形变收缩成它的一维骨架ABCD；如果是去掉三个点，那么形变收缩之后，除了这个骨架之外，在这个骨架上应该还搭着两条额外的边（这样这两条额外的边把这个正方形分成三个部分，每个部分是由一个被去掉的点“扩”出来的），不妨假设这两条边都以A、B为端点（在形变收缩的过程中可以做到，当然这两条边看上去就得弯一点了）。那么再把这个正方形的框按T^2那样粘回来，那个骨架对应两个S^1，另外每条搭上去的边对应一个S^1，这样一共是4个S^1，它们wedge在一起，所以基本群是Z*Z*Z*Z。