矩阵的秩与其伴随矩阵的秩有什么关系

发布网友发布时间：2022-04-21 06:06

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热心网友时间：2022-06-18 09:45

一个矩阵与其伴随矩阵的秩的关系：

1、如果 A 满秩，则 A* 满秩；

2、如果 A 秩是 n-1，则 A* 秩为 1 ；

3、如果 A 秩 < n-1，则 A* 秩为 0 。（也就是 A* = 0 矩阵）

扩展资料

证明如下所示：

1、若秩r(A)=n，说明行列式|A|≠0，说明|A*|≠0，所以这时候r(A*)=n；

2、若秩r(A)<n-1，说明，行列式|A|=0，同时，矩阵A中所有n-1阶子式均为0，即行列式|A|的所有代数余子式均为0，所以这时候r(A*)=0;

3、若秩r(A)=n-1，说明，行列式|A|=0，但是矩阵A中存在n-1阶子式不为0，对此有：
AA*=|A|E=0

4、从而r(A)+r(A*)小于或等于n，也就是r(A*)小于或等于1，又因为A中存在n-1阶子式不为0，所以Aij≠0，得r(A*)大于或等于1，所以最后等于1.

热心网友时间：2022-06-18 09:46

一个方阵与其伴随矩阵的秩的关系：

（1）当r(A)=n时，|A|≠0，所以|A*|≠0，所以r(A*)=n；

（2) 当r(A)=n-1时，|A|=0，但是矩阵A中至少存在一个n-1阶子式不为0（秩的定义），所以r(A*)大于等于1（A*的定义）；

为了证明r(A*)=1，下面证明 r(A*) 小于等于1

这里利用公式AA*=|A|E=0，根据上次给大家总结的有关秩的结论，我们得到r(A)+r(A*)小于等于n,因为r(A)=n-1，所以 r(A*) 小于等于1 ,综上 r(A*) =1；

（3）当r(A)<n-1时，矩阵A中所有n-1阶子式均为0，即A*=0，所以r(A*)=0

扩展资料：

矩阵的秩计算公式：A=(aij)m×n

矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数，通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。