...余下圆心角为θ的扇形,制成一个圆锥形的漏斗,当θ取何值时,漏斗的...

发布网友发布时间：2024-04-01 07:08

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热心网友时间：2024-06-02 22:56

设圆锥形容器底半径为r.高为h.则2πr＝αR, r＝αR/（2π）. h＝√（R²-r²）

选r为自变量，容器容积V＝（1/3）πr²h＝（1/3）πr²√（R²-r²）

对r求导：V′＝（1/3）πr[2R²-3r²]/√（R²-r²）.令V′＝0，

得到r＝√（2/3）R,

α＝2πr/R＝2π√（2/3）（弧度）＝360º×√（2/3）≈293°56′20〃

热心网友时间：2024-06-02 23:01

解：设所围圆锥的底面半径为r，高为h,根据题意得
2*pi*r=(2*pi-a)*R
所以r=(2*pi-a)*R/(2*pi) [【1】

h^2=R^2-r^2
h＝（R^2-r^2）^0.5 【2】

圆锥体积
V=1/3*pi*r^2*h 【3】

将【1】和【2】代入【3】
得到V＝1/24/pi^2*R^3*(-2*pi+a)^2*(-a*(-4*pi+a))^(1/2) 【4】
对【4】求导，并令dV/da＝0
dV/da＝1/12/pi^2*R^3*(-2*pi+a)*(-a*(-4*pi+a))^(1/2)+1/48/pi^2*R^3*(-2*pi+a)^2/(-a*(-4*pi+a))^(1/2)*(4*pi-2*a)＝0

解得：
a =
[ 2*pi]
[ 2*pi+2/3*6^(1/2)*pi]
[ 2*pi-2/3*6^(1/2)*pi]
显然，a=2*pi和a=2*pi+2/3*6^(1/2)*pi不合理

热心网友时间：2024-06-02 22:56

2π根号（2/3）