高中数学导数题!!
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发布时间：2022-05-06 00:47
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热心网友
时间：2022-06-28 10:10
已知函数f（x）=x2+alnx-2（a＞0）
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞2（a-1）成立，试求实数a的取值范围；
（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，方程g（x）=0在区间[e-1，e]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性．
专题：综合题；导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）由f（x）=x2+alnx-2（a＞0），知f（x）的定义域为（0，+∞）．f′(x)=-2x2+ax，且知直线y=x+2的斜率为1．由此能求出f（x）的单调区间．
（ II） 由f′(x)=-2x2+ax=ax-2x2，推导出当x=2a时，函数f（x）取得最小值，ymin=f(2a)．因为对任意的x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，所以f(2a)＞2(a-1)即可．由此能求出a的取值范围．
（ III）依题意得g(x)=2x+lnx+x-2-b，则g′(x)=x2+x-2x2．由此能推导出b的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x2+alnx-2（a＞0），
∴函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
∵f′(x)=-2x2+ax，且知直线y=x+2的斜率为1．
∴f′(1)=-212+a1=-1，解得a=1．
∴f(x)=2x+lnx-2.f′(x)=x-2x2．
由f'（x）＞0，解得x＞2；由f'（x）＜0，解得0＜x＜2．
所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）
（ II） f′(x)=-2x2+ax=ax-2x2．
由f'（x）＞0，解得x＞2a；由f'（x）＜0解得0＜x＜2a．
所以f（x）在区间(2a，+∞)上单调递增，在区间(0，2a)上单调递减．
所以当x=2a时，函数f（x）取得最小值，ymin=f(2a)．
因为对任意的x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，
所以f(2a)＞2(a-1)即可．
∴22a+aln2a-2＞2(a-1)．即aln2a＞a，解得0＜a＜2e．
所以a的取值范围是(0，2e)．
（ III）依题意得g(x)=2x+lnx+x-2-b，则g′(x)=x2+x-2x2．
由g'（x）＞0解得x＞1；由g'（x）＜0解得0＜x＜1．
所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．
又因为方程g（x）=0在区间[e-1，e]上有两个不同的实根，
所以g(e-1)≥0g(e)≥0g(1)＜0，
解得1＜b≤2e+e-1．
所以b的取值范围是(1，2e+e-1]．
点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查推理论证能力，考查等价转化思想，考查分类讨论思想，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
请采纳。
热心网友
时间：2022-06-28 10:10
若a<=1,那么x属于［1,e］时 f'(x)>0 f(x)单增 最小值为f(1)=1-a
若1<a<e ,那么x属于［1,a］时 f'(x)<0 f(x)单降
x属于［a，e］时 f'(x)>0 f(x)单增
最小值为f(a)=a-(a+1)lna-1
若a>e,那么x属于［1,e］时 f'(x)<0 f(x)单降 最小值为f(e)=e-(a+1)-a/e
2)a<1时，若x属于[e,e^2] f'(x)>0 f(x)单增 最小值为f(e)=e-(a+1)-a/e
g(x)=1/2x^2+e^2-xe^x g'(x)=x-(1+x)e^x g''(x)=1-(x+2)e^x g''(x)=-(x+3)e^x<0
g''(x)单增 g''(-2)=1，g‘’(-1)=1-e^(-1)>0 g''(0)=-1 存在唯一b属于［-1,0］
使得 g''(b)=0 1=(b+2)e^b b+2=e^(-b)
且 x属于［-2,b］时 g''(x)>0 g'(x)<=g'(b) x属于［b,0］时 g''(x)<0 g'(x)<=g'(b)
而g'(b)=b-(1+b)e^b=b-(e^(-b)-1)e^b=b-(1-e^b)<0
所以 g(x)在区间[-2,0]单降
x2属于[-2,0]，g(x2)的最小值为g(0)=e^2
存在x1属于[e,e^2]，使得对任意x2属于[-2,0]，f(x1)<g(x2)恒成立
那么f(x1)小于g(x2)在[-2,0]的最小值，那么f(x1)<e^2
而f(e)<=f(x1)<e^2
可得到 e-(a+1)-a/e<e^2 a(1+1/e)>e-1-e^2
解得a>e(e-1-e^2)/(e+1)
结合a<-1
