数学在物理学中的应用
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发布时间：2022-05-05 20:53
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时间：2022-06-28 02:14
规律，除了用文字叙述，用方程，方程组，不等
式，比例式、三角函数、三角方程等，还可以用
相应的图象来描述。数学不仅可作为计算公式贯
穿其中，广泛用于推导公式，表达关系，描述规
律，而且它本身的逻辑作用和抽象作用来辅助物
理概念和规律的形成。掌握物理学中的数学方法，
是学好物理学的关键之一。本文仅就极值问题、
正负号问题，数学图象等在力学、热学、电学中
的应用作简单论述。
一、物理学中的正、负号
数学中的正与负反映了数的大小，但在物理
学中，正和负反映的物理意义大不相同。
1、矢量中的正和负反映了方向。在同一直线
上，一般先规定某方向为正方向，与其同向的矢
量为正值，反之为负值，这样把矢量运算化为标
量运算。例如，在直线运动中，若选初速度为V0
的方向为正方向，则加速度为负值时物体做减速
运动。又如在竖直上抛运动中，以抛点为原点，
上方位移为正，下方位移为负，向上的速度为正，
向下的速度为负，这样即可把往返运动当作一直
向上的运动处理。
例1、在离地10 米高度以5 米/秒竖直向上
抛出一物，不记阻力，问经几秒此物落地？
[析解]以抛点为原点， 向上为正，所以
V0=5m/s�0�5,s=-10m, 代入位移式S=V0·t+1/2at�0�5 有
-10=5t-5t�0�5求出t=2 秒。
2、正和负可以反映物体能量的增加减。大当
能量增加量为正值时，说明能量在增加；当能量
增加量为负值时，说明能量在减少。例如，由动
能定律可知：当合外力对物体做正功时，物体动
能增加；当合外力对物体做负功时，物体动能减
少。又如在热学中我们将吸热和对气体做功记为
正直，相反将放热和对外做功记为负值。
3、在势能大小的表示中，正和负表示势能与
标准点相比的大小。例如我们以桌面为势能的零
点，那么桌面以上的各点势能均为正，而桌面以
下的各处势能均为负值，在这种情况下正和负表
示大小。
4、在光学中，正和负表示虚和实。凸透镜的
焦距为正，透镜的焦距为负；实像的像距为正值，
虚像的像距则为负值。
二、用数学方法定义物理量
物理量分为基本量和导出量两种，从定义形
式来看，都可以用数学形式来表示。大量的可以
用以下几种数学方法定义。
1、量比定义法：就是用两个物理量的“比”
来定义一个新的物理量的方法。例如反映物质属
性或特性的密度（ρ=m/v）,电场强度（E=F/q），
反映物体属性或特征的导体的电阻（R=u/I），运
动速度（v=s/t）,功率（P=w/t）等。
2、乘积定义法：即用两个以上的物理量的乘
积来定义一个新的物理量的方法。例如，功（ w
= F·S cosθ ）,动量（p=mv）, 动能 （ Ek =mv�0�5/2）
等。
3、公式变形定义法：即用已有的公式变形来
定义一个新的物理量是方法。例如，根据电阻定
律（R=ρl/s）,胡克定律（f=κx）,摩擦定律（f=μN），
自感电动势（ε=LΔI/Δt）,得到电阻率ρ，倔强系
数K，摩擦系数μ，自感系数L。
4、和差定义法：即用物理量的和差来定义一
个新的物理量。例如，动能的增量（ΔEk= Ek2
–Ek1 ）,动量的增量（ΔP= P2-P1）等。
三、极值在物理学中的应用
在物理学中经常遇到极值和最值问题，有时
用到一元二次方程的关系，有时则是三角函数的
极值等。此类题解题特点：在物理机理的基础上，
其解题关键要依赖数学手段和方法，借助于数学
技巧和技能。
例2、甲乙两辆汽车同方向行使，当t=0 时，
两车恰好相齐，它们位移随时间t 的变化规律分
别为：S 甲=10t;S 乙=2t+t�0�5,试问在什么时刻，甲车
在前时，两车相距最远？
[析解]两车相距的距离为：
ΔS= S 甲- S 乙=10t -（2t+t�0�5）=-t�0�5+8t
据二次函数的性质有：当x=-b/2a 时，ΔS 有
最大值， ΔSmax=(4ac-b�0�5)/4a, 即当t=4s 时，
ΔSmax=16m
[注]物理量的变化规律在很多场合下可以用
二次函数y=ax�0�5+bx+c 来表示，根据二次函数的性
质：x=-b/2a 时，y 有极值，极值y=(4ac-b�0�5)/4a,当
a>0 时有极小值，当a<0 时有极大值。
例3、把q0 分配给两个相距为r 的质点，使
之成为两个带电体q1 和q2,则当电量如何分配
时，两个电体之间的库仑作用力最大？
[ 析解] 两个带电体之间的库仑力为
F=kq1q2/r�0�5根据题意q1+q2=q0 为一定值，因此当
q1=q2=q0/2 时，q1q2 有最大值，也就是F 有最大
值。所以电量平均分配给两个质点时，它们之间
的库仑作用力最大，最大值Fmax=Kq0�0�5/4r�0�5.
四、图象在物理学中的应用
利用图象可以直观地反映物理量之间相互依
赖的关系，形象地表述物理规律。应用图象解题，
常常使一些复杂的问题变得简单明了，对提高我
们分析问题、解决问题的能力大有益处。
综上所述，在物理学中应用数学的求解方法
是多种多样的，同一物理过程可以用两种或两种
以上的方法求解，关键在于把物理意义和数学方
法巧妙的揉合为一体，才能收到较好的效果。由
于事物的多样性、复杂性及物理与数学两门基础
学科之间的相互渗透与交叉。故在学习中应注意
利用有关的数学知识解决物理问题，以培养自己
正确分析物理过程和运用数学工具解决物理问题
的能力。
与教师之间交叉活动的自由空间，允许窃
窃私语，允许寻求教师、同学帮助。因为我们
常会发现这样一些情况：有的同学想像力很丰
富，但动手能力较差；有的同学制作精细，但
思路狭窄，如果让这两者有机结合，取长补短，
则是最佳的组合了。即使两者水平相当，在合
作中也能得到启发，所谓“三人行，必有我师”。
同时有些活动题材、内容，需要搜集大量的材
料，可组织以小组为单位完成。如“插花”、“版
面设计”、“画脸”等创作，可以以小组为单位合
作收集材料：你准备花泥我准备鲜花，我们一
起来完成一束艺术插花；尝试四个人合作设计
一块别致的版面；相互给对方装饰一个有趣的
脸面等。在愉快的合作氛围中，在友情浓郁的
氛围中，消除表现的顾虑，快乐主动参与学习
的过程，给学生带来愉悦的审美情趣，使每个
学生都体会到集体的智慧胜过于个人，从而培
养学生团结互助、合作的好品德。这样一来，
作业的时间相对缩短，作业的质量却提高了，
何乐而不为？
没有教师心灵的参与，课堂就会像没有雨
水的春日，燥寒而缺少滋润；没有教育实践的
参与，教育研究就会像行将干涸的一潭秋水，
沉闷而无活力。把美术教育的艺术与生命艺术
合二为一，将是我们21 世纪每个美术教师的毕
生追求。
