正态分布计算X的五次方的值
发布网友
发布时间：2024-03-23 12:46
共1个回答
热心网友
时间：2024-07-28 11:02
X的五次方的期望是0
分享一种解法，借用“伽玛函数Γ(α)”求解。
∵X~N(0,1)，∴其密度函数f(x)=Ae^(-x²/2)，其中A=1/√(2π)。
∴根据定义，E(X^n)=∫(-∞,∞)(x^n)f(x)dx=A∫(-∞,∞)(x^n)e^(-x²/2)dx。
∴当n为偶数，即n=2k(k为自然数)时，E(X^n)=2A∫(0,∞)(x^n)e^(-x²/2)dx。当n为奇数，即n=2k+1时，E(X^n)=0。
设x²=2t。∫(0,∞)(x^n)e^(-x²/2)dx=[2^(n/2-1/2)]∫(0,∞)[t^(n/2-1/2)]e^(-t)dt。
∴按照伽玛函数Γ(α)的定义，E(X^n)=(1/√π)[2^(n/2)]Γ(n/2+1/2)=(n-1)(n-3)*…*1。
即，当n为偶数，E(X^n)=(n-1)(n-3)*…*1；n为奇数，E(X^n)=0。
扩展资料：
定理
由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。
为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。
若
服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换。（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例。）
