求解大学微分方程的题

发布网友发布时间：2023-06-04 22:40

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热心网友时间：2024-08-23 07:32

这样的微分方程只能用幂级数展开方法求解，令y=∑Anx^n,代入微分方程，比较x的各个次幂的系数，从而找到系数之间的规律，求得An的表达式即可

热心网友时间：2024-08-23 07:33

解:∵微分方程为(x²+2xy-y²)dx+(y²+2xy-x² )dy=0 ∴方程化为
dy/dx=(x²+2xy-y²)/(x²-2xy-y²)
∴设y=ux，有d(ux)/dx=
(1+2u-u²)/(1-2u-u²)，
u+x/dx=(1+2u-u²)/(1-2u-u²)，
x/dx=(1+u+u²+u³)/(1-2u-u²)，
(u²+2u-1)/(1+u+u²+u³)=-dx/x，
[-1/(u+1)+2u/(u²+1)]=-dx/x，
ln|u²+1|-ln|u+1|=-ln|x|-ln|c|
(c为任意非零常数)
∴(u+1)/(u²+1)=cx，u+1=cx(u²+1)，
x(u+1)=cx²(u²+1)，得:
方程的通解为y+x=cy²+cx²

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