主要第二题,拜托了,亲
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发布时间：2023-06-10 22:14
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时间：2024-12-11 07:12
（1）考虑MN2＝AM2＋BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了；
（2）还将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，△GCM≌△ACM，然后由勾股定理即可证明．
【解析过程】
（1）证明：∵将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，
∴△DCM≌△ACM，
∴CD＝CA，DM＝AM，∠DCM＝∠ACM，∠CDM＝∠A
又∵CA＝CB，
∴CD＝CB，
∴∠DCN＝∠ECF－∠DCM＝45°－∠DCM
∠BCN＝∠ACB－∠ECF－∠ACM
＝90°－45°－∠ACM＝45°－∠ACM
∴∠DCN＝∠BCN ，
又∵CN＝CN，
∴△CDN≌△CBN．
∴DN＝BN，∠CDN＝∠B．
∴∠MDN＝∠CDM＋∠CDN＝∠A＋∠B＝90°．
∴在Rt△MDN中，由勾股定理
∴MN2＝DM2＋DN2，即MN2＝AM2＋BN2．
（2）解：关系式MN2＝AM2＋BN2仍然成立．
证明：∵将△ACM沿直线CE对折，得△GCM，连GN，
∴△GCM≌△ACM．
∴CG＝CA，GM＝AM，∠GCM＝∠ACM，∠CGM＝∠CAM，
又∵CA＝CB，得CG＝CB．
∵∠GCN＝∠GCM＋∠ECF＝∠GCM＋45°
∴∠BCN＝∠ACB－∠ACN＝90°－（∠ECF－∠ACM）＝45°＋∠ACM，
得∠GCN＝∠BCN．
又∵CN＝CN，
∴△CGN≌△CBN．
∴GN＝BN，∠CGN＝∠B＝45°，∠CGM＝∠CAM＝180°－∠CAB＝135°，
∴∠MGN＝∠CGM－∠CGN＝135°－45°＝90°，
∴在Rt△MGN中，由勾股定理，
∴MN2＝GM2＋GN2，即MN2＝AM2＋BN2．
【答案】
（1）证明：∵将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，
∴△DCM≌△ACM，
∴CD＝CA，DM＝AM，∠DCM＝∠ACM，∠CDM＝∠A
又∵CA＝CB，
∴CD＝CB，
∴∠DCN＝∠ECF－∠DCM＝45°－∠DCM
∠BCN＝∠ACB－∠ECF－∠ACM
＝90°－45°－∠ACM＝45°－∠ACM
∴∠DCN＝∠BCN ，
又∵CN＝CN，
∴△CDN≌△CBN．
∴DN＝BN，∠CDN＝∠B．
∴∠MDN＝∠CDM＋∠CDN＝∠A＋∠B＝90°．
∴在Rt△MDN中，由勾股定理
∴MN2＝DM2＋DN2，即MN2＝AM2＋BN2．
（2）解：关系式MN2＝AM2＋BN2仍然成立．
证明：∵将△ACM沿直线CE对折，得△GCM，连GN，
∴△GCM≌△ACM．
∴CG＝CA，GM＝AM，∠GCM＝∠ACM，∠CGM＝∠CAM，
又∵CA＝CB，得CG＝CB．
∵∠GCN＝∠GCM＋∠ECF＝∠GCM＋45°
∴∠BCN＝∠ACB－∠ACN＝90°－（∠ECF－∠ACM）＝45°＋∠ACM，
得∠GCN＝∠BCN．
又∵CN＝CN，
∴△CGN≌△CBN．
∴GN＝BN，∠CGN＝∠B＝45°，∠CGM＝∠CAM＝180°－∠CAB＝135°，
∴∠MGN＝∠CGM－∠CGN＝135°－45°＝90°，
∴在Rt△MGN中，由勾股定理，
∴MN2＝GM2＋GN2，即MN2＝AM2＋BN2．
【总结】
此题的关键是辅助线，让MN2＝AM2＋BN2符合勾股定理的形式，转化为在直角三角形中解决．做几何题加辅助线是关键，所以学生要尽可能多的从题中总结，加辅助线的规律．
