线性代数,答案第三小点证相似,完全不明白
发布网友
发布时间：2022-04-24 00:36
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热心网友
时间：2023-10-15 20:23
我都解释下吧
首先（2）证相似：有一个定理 A的所有特征值的和等于A主对角线上所有数的和
【定理证明1】考虑A的对角线上的数a11,a22,,..,ann
A的特征方程是λI-A的行列式，那么假设A的特征根是λ1，λ2。。。λn
则|λI-A|=(λ-λ1)(λ-λ2)...(λ-λn)
也就是|λI-A|中的λ的(n-1)次项系数就是-λ1-λ2...-λn，也就是A的所有特征值的和的相反数
再观察|λI-A|中的λ的(n-1)次项系数，写出I-A这个矩阵
λ-a11 a22...
a12 λ-a22..
你把整个矩阵画出来就会发现，λ的(n-1)次项系数恰好等于-a11-a22...-ann
所以-λ1-λ2...-λn=-a11-a22...-ann
【定理证明2】或者可以这么证：先去证明tr(AB)=tr(BA)
trA表示A的主对角线的所有数的和也就是a11+a22+...+ann
这个很好证，假设A=(a11..ann)B=(b11..bnn)分别求出AB和BA主对角线上的数就可以了
然后，假设A的特征根是λ1，λ2。。。λn，那么A相似于对角矩阵diag(λ1，λ2。。。λn)
存在P使得P-1AP=diag(λ1，λ2。。。λn)
那么tr(P-1AP)=tr(diag(λ1，λ2。。。λn))=λ1+λ2+。。。+λn
由于tr(AB)=tr(BA)，有tr(P-1AP)=tr(PP-1A)=trA=a11+a22+...+ann
这样也能证明λ1+λ2+。。。+λn=a11+a22+...+ann
【原题】说了那么多就是为了解释为什么A的所有特征值的和等于A主对角线上所有数的和
（2）中证明相似：考虑A的秩是1，所以0是A的二重特征根，也就是λ1=0，λ2=0
又由定理λ1+λ2+λ3=A主对角线所有数和=1+1+1=3，所以λ3=3
那么A和B的各个特征根相同，A和B相似
再来解释（3）A对称则可以正交相似于对角阵你懂吧？而A相似成的对角阵必然是diag(3 0 0)
或者是diag(0 3 0)、diag(0 0 3)，这三个都合同于B，所以A合同于B
希望对你有帮助，望采纳
有什么问题可以提问追问合同不是CTAC=B
diag(3 0 0)
或者是diag(0 3 0)、diag(0 0 3)，这三个都合同于B，所以A合同于B
这步为什么说明合同？
追答就是说，合同有传递性 A合同BB合同C，那么A合同C
刚才说的是A正交相似于对角阵
正交相似同时也就做到合同了
所以A合同于对角阵P
这个对角阵可能是diag(3 0 0)diag(0 3 0)diag(0 0 3)
（原因是A还相似于P）
不管P是哪个 P合同于B
所以A合同于B
