正定矩阵行列式小于等于对角线乘积 简单点的证明。
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发布时间：2022-04-24 00:36
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热心网友
时间：2023-11-03 12:26
证明过程中要用到以下内容:
第一:n阶矩阵An正定,An-1为n-1阶顺序主子式正定.
第二,若A正定,则A逆正定.
我们看An的顺序主子式A1,A2,...An-1,An(就是对角线上的块儿,详情百度百科).
数学归纳对n归纳
A1=a11,满足条件
当为n-1时,若An-1<=a11*a22*....*an-1n-1.
往证那么为n时,An<=a11*....*ann.
将An分块,An=
An-1,b
b',ann
然后用n阶矩阵P={En,-An-1的逆b;0,1}合同An,就是P'AnP={}An-1,0 ; 0,ann-b'An-1b}.
两边取行列式|A|=|P'AP|=|An-1|(ann-b'An-1的逆b)<=(a11*a22*....*an-1n-1)(ann-b'An-1的逆b)
可见只要证明ann-b'An-1的逆b<=ann就完事儿了.
由于A和An-1都正定|A|=|P'AP|=|An-1|(ann-b'An-1的逆b),说明(ann-b'An-1的逆b)>0;
由于An-1的逆是正定的,说明b'An-1的逆b>=0.综上所以,0<ann-b'An-1的逆b<=ann.
这样就证明了我们上边的"往证"由于电脑打字不方便,不懂得地方欢迎追问,尤其是矩阵没法打我用的是计算机的表示矩阵方法.下面我把那两个预备定理简单说一下:
A正定,则x'Ax>=0,令x=[y,0],则x'Ax=y'An-1y>=0,按照正定定义An-1正定.
第二个看特征值A正定,特征值皆正,A逆的特征值是A特征值的倒数,也皆正,则A逆正定(正定充要条件是特征值皆正)追问额。我大概看不懂那个矩阵P。我也知道是数学归纳法和矩阵分块。。其他的基本懂。。能不能让我看的更明白些。
追答P是这样一个分块矩阵
En-1,-An-1的逆b;
0,1
第一块是n-1阶单位阵,第三块是0向量,第四块是数字1,第二块是,(-An-1的逆)b,其中b是上边提到的列向量,An-1的逆是上边的A的第一块An-1的逆矩阵.
然后P'AP正好合同于A,且形式简单.
这种做法很常见的 比如|En-AB|=|Em-BA|的证明.就是用相似变换做的,
你这道题是武汉大学今年的考研题,据我所知只有我这一种证法.建议看看自己线性代数教材上的例题~就明白这种常见的证明方法了
热心网友
时间：2023-11-03 12:26
det(A)=det(B),B为对角矩阵追问你这个是相似矩阵的定义吧，正定矩阵是和对角矩阵是合同的。
