伽马函数的参数怎么标定
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发布时间：2023-05-18 22:54
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时间：2023-10-12 02:38
，负整数和0是它的一阶极点。
（1）在实数域上伽玛函数定义为：
（2）在复数域上伽玛函数定义为：
其中
，此定义可以用解析延拓原理拓展到整个复数域上，非正整数除外。
复平面上的Gamma 函数
（3）在以上定义中换元，可以得到伽马函数另外一个写法：
（4）伽马函数还有一种定义（欧拉无穷乘积定义）：[1]
此式对复平面上除了负整数或0的点
都成立，因此可以作为一种普遍的定义。
（5）伽马函数还有一种定义（维尔斯特拉斯无穷乘积定义）：[1]
其中
是欧拉-马歇若尼常数。
不完全Gamma函数
详见不完全伽马函数
历史背景
1728年，哥德*在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,9,16.....可以用通项公式n2自然的表达，即便 n 为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x2通过所有的整数点(n,n2),从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德*开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,...,我们可以计算2!,3!,是否可以计算2.5!呢？我们把最初的一些(n,n!)的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。
但是哥德*无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯·伯努利和他的弟弟丹尼尔·伯努利，由于欧拉当时和丹尼尔·伯努利在一块，他也因此得知了这个问题。欧拉于1729 年解决了这个问题，由此导致了伽玛函数的诞生，当时欧拉只有22岁。
伽马函数的推导
对
进行离散与连续展开，有
对比系数，有
必须在一致收敛域
内。
最后的积分中我们可以让
取任意实数，这样我们就把阶乘延拓到实数集中了
函数性质
1、通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质：
于是很容易证明，伽马函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，对于正整数n，具有如下性质：
2、与贝塔函数的关系：
3、在概率的研究中有一个重要的分布叫做伽玛分布：
其中
。
4、对
，有
这个公式称为余元公式。
由此可以推出以下重要的概率公式：
5、对于
，伽马函数是严格凸函数。
6、伽马函数是亚纯函数，在复平面上，除了零和负整数点以外，它全部解析，而伽马函数在
处的留数为
Stirling公式
Gamma 函数从它诞生开始就被许多数学家进行研究，包括高斯、勒让德、魏尔斯特拉斯、刘维尔等等。这个函数在现代数学分析中被深入研究，在概率论中也是无处不在，很多统计分布都和这个函数相关。Gamma 函数作为阶乘的推广，首先它也有和 Stirling 公式类似的一个结论：即当x取的数越大，Gamma 函数就越趋向于 Stirling 公式，所以当x足够大时，可以用Stirling 公式来计算Gamma 函数值。Stirling公式常见的形式有
