mittag-leffler函数是什么

发布网友发布时间：2023-05-18 22:54

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热心网友时间：2023-10-12 02:38

Mittag-Leffler定理所说的是，根据给定的极点来重构亚纯函数。比如说，现在在复平面上给定了一列点（唯一的极限点是无穷远），一亚纯函数在这些点上laurent级数的Principle
part给定了。那么Mittag-Leffler定理就保证了这个亚纯函数可以由此而重现出来，可能相差一个整函数项。
这个定理一方面在应用中十分有力，可以用来求一些级数的和（比如说关于Gamma函数的对数导数展开式），也可以作为一些渐近计算的出发点。在理论上，它可以引出关于整函数分解为无穷乘积的Weierstrass定理。而这个定理本身也暗示着研究一个单复变函数可以不从它的明显表达式入手——这可以说是Riemann的一个心愿。这个定理还有高维推广，关于高维复流形有类似的Cousin问题。可惜的是Cousin问题不是总有解——看来一维复流形还真是好啊......但理论上来说，对于一维复流形，从极点构造亚纯函数的问题是可解的。
说一个有趣的例子。椭圆函数理论中有一个定理——两个椭圆函数假如有相同的极点（指有相同的Principle
part），那么它们只能相差一个常数。这件事甚至对于三角多项式都不成立：sinz+cotz和cotz有相同的极点相同的Principle
part。这可以说是Mittag-Leffler定理的一个有趣的特例。