设fn(x)=x+x^2+x^3+...+x^n,证明方程fn(x)=1有唯一正根

发布网友发布时间：2023-05-17 21:34

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热心网友时间：2023-10-09 06:21

当n=1时,显然f1(x)=x=1只有一个正根x=1
当n>1时
令g(x)=fn(x)-1
g'(x)=1+2x+3x^2+..+nx^(n-1)
当x>0时,g'(x)>0, 即g(x)单调增,在此区间最多只有一个根
又g(0)=-1
g(1)=n-1>0,
所以唯一正根在(0, 1)区间.

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