如图一，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，P为BC边上任意一点，点Q为AC边动点，分别以Cm、MQ为边做等

发布网友发布时间：2022-04-24 02:40

共1个回答

热心网友时间：2023-10-22 13:52

(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析

（1）通过等边三角形的性质（三条边相等、三个角相等）求得PF=PC，PE=PQ，∠EPF=∠QPC；然后根据全等三角形的判定定理SAS证明△PFE≌△PCQ，再根据全等三角形的性质（对应角相等）知∠EPF=∠QPC=90°；接下来由平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行）知PF∥AB；最后由平行线的性质（两平行线中，有一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线）知EF⊥AB；
（2）通过等边三角形的性质（三条边相等、三个角相等）求得PF=PC，PE=PQ，∠EPF=∠QPC；然后根据全等三角形的判定定理SAS证明△PFE≌△PCQ，再根据全等三角形的性质（对应角相等）知∠EPF=∠QPC=90°；接下来由平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行）知PF∥AB；最后由平行线的性质（两平行线中，有一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线）知EF⊥AB；
（3）需要添加的条件需满足：△PFE≌△PCQ、PF∥AB（内错角相等，两直线平行）．
解：（1）EF⊥AB．
∵△PCF和△PQE都是等边三角形，
∴PF=PC，PE=PQ，
∠EPF+∠FPQ=∠QPC+∠FPQ=60°，
∴∠EPF=∠QPC，
∴△PFE≌△PCQ；
∴∠EPF=∠QPC=60°，
∴EF⊥PF；
在Rt△ABC中，∠ACB=60°，∠A=30°，
∴∠B=60°；
又∵∠FPC=60°，
∴∠B=∠FPC，
∴PF∥AB（同位角相等，两直线平行），
∴EF⊥AB；
（2）当点P为BC延长线上任意一点时，（1）结论成立．
证明：∵△PCF和△PQE都是等边三角形，
∴PF=PC，PE=PQ，
∠EPF+∠EPC=∠QPC+∠EPC=60°，
∴∠EPF=∠QPC，
∴△PFE≌△PCQ；
∴∠EFP=∠QCP=60°，
∴EF⊥PF；
在Rt△ABC中，∠ACB=60°，∠A=30°，
∴∠B=60°；
又∵∠FPC=60°，
∴∠B=∠FPC，
∴PF∥AB（内错角相等，两直线平行），
∴EF⊥AB；
（3）要使（1）1结论依然成立，则需要添加条件是：∠CPF=∠B=∠QPE．
需要证明△PFE≌△PCQ、PF∥AB（内错角相等，两直线平行），才能证明EF⊥AB．

热心网友时间：2023-10-22 13:52

(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析

热心网友时间：2023-10-22 13:52

(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析