蚂蚁与橡皮绳悖论的推导过程
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发布时间：2023-06-03 10:02
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热心网友
时间：2024-11-25 12:32
现在让我们看一下推导过程（只需懂得积分即可）
1、如果把橡皮筋的全长定为1，那么不管橡皮筋拉多长，都是1,拉长的结果是让蚂蚁的速度下降为原来的100/(100+100t)=1/(1+t)
2、蚂蚁的初速度是全长的0.01/（100）=1/10000-=0.0001,(按全长为1来定即走过全长的万分之一)
3蚂蚁在t时刻的速度是0.0001*(1/(1+t))=0.0001/(1+t)
4、则蚂蚁在微小的时间段dt内走过的路是 (0.0001/(1+t))dt
5、则蚂蚁从0时刻走到t时刻的路程为∫(0.0001/(1+t))dt
从0到t积分因为∫(0.0001/(1+t))dt=0.0001*ln(1+t)
所以蚂蚁走过的路程为 0.0001ln(1+t)-0.0001ln(1+0)=0.0001ln(1+t)
因为全长定为1，令上式=1 0.0001ln(1+t)=1
解这个方程 1+t=e^10000
t=(e^10000)-1=3.122*10^4343秒=1.0*10^4335年
此问题相当于调和级数求和。
我们今天发现的调和级数悖论则是芝诺悖论（阿基里斯追不上乌龟）的又一个很巧妙的翻版。
Euler(欧拉)在1734年，利用Newton的成果，首先获得了调和级数有限多项和的值。结果是：
1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r为常量)
r的值，约为0.577218。这个数字就是后来称作的欧拉常数。
