点到直线距离公式证明

发布网友 发布时间：2022-04-24 01:45

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热心网友 时间：2023-10-19 15:06

用定义法证明：

证：根据定义，点P(x₀,y₀)到直线l：Ax+By+C=0的距离是点P到直线l的垂线段的长，

设点P到直线的垂线为l'，垂足为Q，则l'的斜率为B/A

则l'的解析式为y-y₀=(B/A)(x-x₀)

把l和l'联立得l与l'的交点Q的坐标为((B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2), (A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2))

由两点间距离公式得：

PQ^2=[(B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2+[(A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2

=[(-A^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)]^2+[(-ABx₀-B^2y₀-BC)/(A^2+B^2)]^2

=[A(-By₀-C-Ax₀)/(A^2+B^2)]^2+[B(-Ax₀-C-By₀)/(A^2+B^2)]^2

=A^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2+B^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(A^2+B^2)(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)

所以PQ=|Ax₀+By₀+C|/√(A^2+B^2)，公式得证。

扩展资料：

一、点到直线距离总公式：

设直线 L 的方程为Ax+By+C=0，点 P 的坐标为（Xo，Yo），则点 P 到直线 L 的距离为：

考虑点(x0,y0,z0)与空间直线x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有：

s=|(x1-x0,y1-y0,z1-z0)×(l,m,n)|/√(l²+m²+n²)

d=√((x1-x0)²+(y1-y0)²+(z1-z0)²-s²)

二、引申公式：

1、设直线l1的方程为：

 

直线l2的方程为：

则 2条平行线之间的间距：

2、设直线l1的方程为：

 

直线l2的方程为

则 2条直线的夹角

 

参考资料来源：百度百科-点到直线的距离

热心网友 时间：2023-10-19 15:06

　在人教大纲版高二数学上册中,关于点到直线距离公式的推导方法,教材介绍了两种推导方法,并详细给出了利用直角三角形的面积公式推导得出点到直线的距离公式的具体过程。其实关于点到直线的距离公式的推导方法，除上述方法之外，还有其它很多方法，在这些方法中，向量法（利用平面向量的有关知识来推导的方法）是一种行之有效的推导方法。其推导思路简单明了、运算量也较小。下面笔者给出向量法推导点到直线的距离的具体过程，以供同行参考：

已知直线：和点，为点到直线的距离。现不妨设且，则直线的斜率为，其方向向量为，从而易知其法向量，又设点为直线上的任一点（如图所示），于是有：

由平面向量的有关知识，可得：

显然，当或时，上述公式仍成立。

上述推导方法利用了向量的数量积知识来进行推导出了点到直线的距离公式，这是一种比较重要有数学思想方法。我们还可将这种思想方法进一步推广到在立体几何中，如何利用空间向量解决求点到平面的距离问题

热心网友 时间：2023-10-19 15:07

设点A(m.n)到直线y=kx+b的距离
首先，求过点A且与直线y=kx+b垂直的直线方程
过点A且与直线y=kx+b垂直的直线方程设为y=-x/k+c
【因为两直线垂直，其斜率乘积为-1，即k1k2=-1】
所以有n=-m/k+b===>b=n+m/k=(nk+m)/k
所以过A点且垂直y=kx+b的直线方程为
y=-x/k+(nk+m)/k
其次，求这两条直线的交点坐标，即联解这两个直线方程
直线y=kx+b与直线y=-x/k+(nk+m)/k的交点坐标
kx+b=-x/k+(nk+m)/k
解出x，然后解出y即是交点坐标，假设为B点(p,q)
最后，根据两点距离公式求出点A到y=kx+b的距离
|AB|=√[(m-p)²+(n-q)²]

热心网友 时间：2023-10-19 15:06

用定义法证明：

证：根据定义，点P(x₀,y₀)到直线l：Ax+By+C=0的距离是点P到直线l的垂线段的长，

设点P到直线的垂线为l'，垂足为Q，则l'的斜率为B/A

则l'的解析式为y-y₀=(B/A)(x-x₀)

把l和l'联立得l与l'的交点Q的坐标为((B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2), (A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2))

由两点间距离公式得：

PQ^2=[(B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2+[(A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2

=[(-A^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)]^2+[(-ABx₀-B^2y₀-BC)/(A^2+B^2)]^2

=[A(-By₀-C-Ax₀)/(A^2+B^2)]^2+[B(-Ax₀-C-By₀)/(A^2+B^2)]^2

=A^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2+B^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(A^2+B^2)(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)

所以PQ=|Ax₀+By₀+C|/√(A^2+B^2)，公式得证。

扩展资料：

一、点到直线距离总公式：

设直线 L 的方程为Ax+By+C=0，点 P 的坐标为（Xo，Yo），则点 P 到直线 L 的距离为：

考虑点(x0,y0,z0)与空间直线x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有：

s=|(x1-x0,y1-y0,z1-z0)×(l,m,n)|/√(l²+m²+n²)

d=√((x1-x0)²+(y1-y0)²+(z1-z0)²-s²)

二、引申公式：

1、设直线l1的方程为：

 

直线l2的方程为：

则 2条平行线之间的间距：

2、设直线l1的方程为：

 

直线l2的方程为

则 2条直线的夹角

 

参考资料来源：百度百科-点到直线的距离

热心网友 时间：2023-10-19 15:06

　在人教大纲版高二数学上册中,关于点到直线距离公式的推导方法,教材介绍了两种推导方法,并详细给出了利用直角三角形的面积公式推导得出点到直线的距离公式的具体过程。其实关于点到直线的距离公式的推导方法，除上述方法之外，还有其它很多方法，在这些方法中，向量法（利用平面向量的有关知识来推导的方法）是一种行之有效的推导方法。其推导思路简单明了、运算量也较小。下面笔者给出向量法推导点到直线的距离的具体过程，以供同行参考：

已知直线：和点，为点到直线的距离。现不妨设且，则直线的斜率为，其方向向量为，从而易知其法向量，又设点为直线上的任一点（如图所示），于是有：

由平面向量的有关知识，可得：

显然，当或时，上述公式仍成立。

上述推导方法利用了向量的数量积知识来进行推导出了点到直线的距离公式，这是一种比较重要有数学思想方法。我们还可将这种思想方法进一步推广到在立体几何中，如何利用空间向量解决求点到平面的距离问题

热心网友 时间：2023-10-19 15:07

过所给点做已知直线的平行线，那么点到直线的距离就是这两平行线的距离
设给点是（x0,y0),直线是ax+by+c=0,
平行线为(y-y0)/(x-x0)=-a/b
b(y-y0)+a(x-x0)=0
ax+by-(ax0+by0)=0
两平行线的距离是常数项相差除以根号两系数的平方和．所以为｜ax0+by0+c｜/根号(a^2+b^2)

热心网友 时间：2023-10-19 15:07

设点A(m.n)到直线y=kx+b的距离
首先，求过点A且与直线y=kx+b垂直的直线方程
过点A且与直线y=kx+b垂直的直线方程设为y=-x/k+c
【因为两直线垂直，其斜率乘积为-1，即k1k2=-1】
所以有n=-m/k+b===>b=n+m/k=(nk+m)/k
所以过A点且垂直y=kx+b的直线方程为
y=-x/k+(nk+m)/k
其次，求这两条直线的交点坐标，即联解这两个直线方程
直线y=kx+b与直线y=-x/k+(nk+m)/k的交点坐标
kx+b=-x/k+(nk+m)/k
解出x，然后解出y即是交点坐标，假设为B点(p,q)
最后，根据两点距离公式求出点A到y=kx+b的距离
|AB|=√[(m-p)²+(n-q)²]

热心网友 时间：2023-10-19 15:08

直线方程是Ax+By+C=0 可知直线过点[－C/A,0] 于是 直线方程是Ax+By+C=0就变成 A[x＋C/A]+By=0 所以向量a=[A,B] 垂直直线 设直线上有一点E（x0，y0）直线外一点F（x，y） F点到直线距离等于EF向量与向量a=[A,B]乘积绝对植除以a=[A,B]的摸 就可知道F点到直线距离等于|Ax+By+C|除以根号A平方加B平方

热心网友 时间：2023-10-19 15:07

过所给点做已知直线的平行线，那么点到直线的距离就是这两平行线的距离
设给点是（x0,y0),直线是ax+by+c=0,
平行线为(y-y0)/(x-x0)=-a/b
b(y-y0)+a(x-x0)=0
ax+by-(ax0+by0)=0
两平行线的距离是常数项相差除以根号两系数的平方和．所以为｜ax0+by0+c｜/根号(a^2+b^2)

热心网友 时间：2023-10-19 15:08

直线方程是Ax+By+C=0 可知直线过点[－C/A,0] 于是 直线方程是Ax+By+C=0就变成 A[x＋C/A]+By=0 所以向量a=[A,B] 垂直直线 设直线上有一点E（x0，y0）直线外一点F（x，y） F点到直线距离等于EF向量与向量a=[A,B]乘积绝对植除以a=[A,B]的摸 就可知道F点到直线距离等于|Ax+By+C|除以根号A平方加B平方