线代中的秩是什么意思
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发布时间：2022-04-24 01:53
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热心网友
时间：2023-10-20 04:21
矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。
设a是一组向量,定义a的极大无关组中向量的个数为a的秩。
定义1.
在m´n矩阵a中,任意决定k行和k列
(1£k£min{m,n})
交叉点上的元素构成a的一个k阶子矩阵,此子矩阵的行列式,称为a的一个k阶子式。
例如,在阶梯形矩阵
中,选定1,3行和3,4列,它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式
就是矩阵a的一个2阶子式。
定义2.
a=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵a
的秩,记作ra,或ranka。
特别规定零矩阵的秩为零。
显然ra≤min(m,n)
易得:
若a中至少有一个r阶子式不等于零,且在r<min(m,n)时,a中所有的r+1阶子式全为零,则a的秩为r。
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n,通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵,
det(a)¹
0;不满秩矩阵就是奇异矩阵,det(a)=0。
由行列式的性质1(1.5[4])知,矩阵a的转置at的秩与a的秩是一样的。
例1.
计算下面矩阵的秩,
而a的所有的三阶子式,或有一行为零;或有两行成比例,因而所
有的三阶子式全为零,所以ra=2。
矩阵的秩
引理
设矩阵a=(aij)sxn的列秩等于a的列数n,则a的列秩,秩都等于n。
定理
矩阵的行秩,列秩,秩都相等。
定理
初等变换不改变矩阵的秩。
定理
矩阵的乘积的秩rab<=min{ra,rb};
热心网友
时间：2023-10-20 04:21
矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。
设a是一组向量,定义a的极大无关组中向量的个数为a的秩。
定义1.
在m´n矩阵a中,任意决定k行和k列
(1£k£min{m,n})
交叉点上的元素构成a的一个k阶子矩阵,此子矩阵的行列式,称为a的一个k阶子式。
例如,在阶梯形矩阵
中,选定1,3行和3,4列,它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式
就是矩阵a的一个2阶子式。
定义2.
a=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵a
的秩,记作ra,或ranka。
特别规定零矩阵的秩为零。
显然ra≤min(m,n)
易得:
若a中至少有一个r阶子式不等于零,且在r<min(m,n)时,a中所有的r+1阶子式全为零,则a的秩为r。
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n,通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵,
det(a)¹
0;不满秩矩阵就是奇异矩阵,det(a)=0。
由行列式的性质1(1.5[4])知,矩阵a的转置at的秩与a的秩是一样的。
例1.
计算下面矩阵的秩,
而a的所有的三阶子式,或有一行为零;或有两行成比例,因而所
有的三阶子式全为零,所以ra=2。
矩阵的秩
引理
设矩阵a=(aij)sxn的列秩等于a的列数n,则a的列秩,秩都等于n。
定理
矩阵的行秩,列秩,秩都相等。
定理
初等变换不改变矩阵的秩。
定理
矩阵的乘积的秩rab<=min{ra,rb};
