l黎曼函数是什么?
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发布时间：2023-05-27 18:27
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时间：2024-10-21 20:40
黎曼函数是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中被广泛应用，在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题。
此函数在微积分中有着重要应用。
定义
R(x)=0，如果x=0，1或(0,1)内的无理数；
R(x)=1/q，如果x=p/q（p/q为既约真分数），即x为(0,1)内的有理数。
性质
定理：黎曼函数在区间(0,1)内的极限处处为0。
证明：对任意x0∈(0,1)，任给正数ε，考虑除x0以外所有黎曼函数的函数值大于等于ε的点，因为黎曼函数的正数值都是1/q的形式（q∈N+），且对每个q，函数值等于1/q的点都是有限的，所以除x0以外所有函数值大于等于ε的点也是有限的。设这些点，连同0、1，与x0的最小距离为δ，则x0的半径为δ的去心邻域中所有点函数值均在[0,ε)中，从而黎曼函数在x->x0时的极限为0。
推论：黎曼函数在(0,1)内的无理点处处连续，有理点处处不连续。
推论：黎曼函数在区间[0,1]上是黎曼可积的。（实际上，黎曼函数在[0,1]上的积分为0。）
证明：函数可积性的勒贝格判据指出，一个有界函数是黎曼可积的，当且仅当它的所有不连续点组成的集合测度为0。黎曼函数的不连续点集合即为有理数集，是可数的，故其测度为0，所以由勒贝格判据，它是黎曼可积的。
变体
R(x)=0，如果x为任意无理数；
R(x)=1/q，如果x=p/q（p∈Z，q∈Z+，(p,q)=1），即x为任意非零有理数；
R(x)=1，如果x=0。
这样定义的黎曼函数R上的所有无理点处处连续，有理点处处不连续。追问黎曼函数证明
追答定理：黎曼函数在区间(0,1)内的极限处处为0。
证明：对任意x0∈(0,1)，任给正数ε，考虑除x0以外所有黎曼函数的函数值大于等于ε的点，因为黎曼函数的正数值都是1/q的形式（q∈N+），且对每个q，函数值等于1/q的点都是有限的，所以除x0以外所有函数值大于等于ε的点也是有限的。设这些点，连同0、1，与x0的最小距离为δ，则x0的半径为δ的去心邻域中所有点函数值均在[0,ε)中，从而黎曼函数在x->x0时的极限为0。
推论：黎曼函数在(0,1)内的无理点处处连续，有理点处处不连续。
推论：黎曼函数在区间[0,1]上是黎曼可积的。（实际上，黎曼函数在[0,1]上的积分为0。）
证明：函数可积性的勒贝格判据指出，一个有界函数是黎曼可积的，当且仅当它的所有不连续点组成的集合测度为0。黎曼函数的不连续点集合即为有理数集，是可数的，故其测度为0，所以由勒贝格判据，它是黎曼可积的。
