射影变换和投影变换是一个定义吗?
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发布时间：2022-04-23 14:01
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时间：2023-10-17 03:22
射影变换
定义 设为平面上的四个共线点，称两个单比和的比为这四点的交比或复比，记作，其中和称为基础点对，和称为分点对。
定义 如果四点的交比，则称点对和调和分离点对和，或称点对与点对调和共轭，这时也称为的第四调和点，交比值称为调和比。
定理：中心射影保持共线四点的交比不变
证明：如图为射影中心直线上任意四点在中心射影下的像分别是直线上的
设的垂直于的高长度为，的垂直于的长度为
则于是同理是故
定义 如果平面上的点变换使共线三点还变成共线三点，并且保持共线四点的交比不变，称此变换为平面上的射影变换。
因为正交变换、相似变换、仿射变换都保持共线三点的单比不变，必然保持共线四点的交比不变，所以这些变换都是射影变换。
射影变换的基本不变性质：
[1]定理：平面上全部射影变换的集合构成群
证明：（1）设是平面上的两个射影变换，是共线四点
据定义有所以仍是射影变换
（2）设是平面的上射影变换所以是射影变换
故平面上全部射影变换的集合构成群
称之为射影变换群，仿射变换群、相似变换群、正交变换群都是它的子群。
投影变换
投影变换是将一种地图投影点的坐标变换为另一种地图投影点的坐标的过程。研究投影点坐标变换的理论和方法。
在常规编图作业中，为将基本制图资料转绘到新编图经纬网中，常用照相、缩放仪、光学投影和网格等转绘法，以达到地图投影变换的目的。目前基本方法为：①解析变换法。即找出两投影间的解析关系式。通常有反解变换法，或称间接变换法；即{xi，yi}→{i，λi}→{Xi，Yi}；正解变换法，或称直接变换法，即{xi，yi}→{Xi，Yi}；②数值变换法。根据两投影间的若干离散点或称共同点，运用数值*近理论和方法建立它们间的函数关系，或直接求出变换点的坐标；③数值解析变换法。将上述两类方法相结合，即按数值法实现{xi，yi}→{i，λi}的变换，再按解析法实现{i，λi}→{Xi，Yi}的变换。随着计算机辅助建立地图数学基础及地图投影变换软件研究的深入，进一步开拓了数学地图学的应用领域。其中计算机辅助地图投影变换将代替传统的变换方法，将是制图生产中具有突破性的变革。
地图投影变换时地图投影和地图编绘的一个重要组成部分，它主要研究从一种地图投影变换成另一种地图投影的理论和方法。其实质是建立两平面场之间及邻域双向连续点的一一对应关系。
实现一种地图投影点的坐标变换为另一种地图投影点的坐标，目前通常有如下三种方法：
1.解析变换法
2.数值变换法
3.数值-解析变换法
