二次根式性质及运算
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发布时间：2022-04-23 13:45
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时间：2022-04-27 08:45
关键提醒：
二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于0。
二次根式 (a≥0)中a可以表示数、单项式、多项式以及符合条件的一切代数式。
2.二次根式的性质

关键提醒：
区分与，要注意平方与开方的先后顺序，中，要求a≥0才能使其有意义；中，a取任何实数都能使二次根式有意义。
例1：
已知|a|＝5，＝3，且ab＞0，则a＋b的值为（ ）
A.8
B.－2
C.8或－8
D.2或－2
解析：因为|a|＝5，＝3，所以a＝±5，b＝±3.又因为ab＞0，所以a、b同号，即a＝－5，b＝－3或a＝5，b＝3.所以a＋b＝±8.
答案：C
0
2
二次根式的乘法
(1)二次根式的乘法：(a≥0，b≥0)
关键提醒：
意义:两个二次根式相乘，等于被开方数相乘，根指数不变。
被开方数a，b可以是数值非负的数字、字母或代数式。
例2：

(2)积的算术平方根的性质：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即(a≥0，b≥0).
2.二次根式的除法及商的算术平方根的性质
(1)二次根式的除法:(a≥0，b＞0).
(2)商的算术平方根的性质:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即(a≥0，b＞0).
关键提醒：
两个二次根式相除，等于被开方数相除，根指数不变，商要化成最简二次根式。
在实际解题时，若不考虑a、b的正、负性，而得出，这是错误的。
例3：

例4：

3.最简二次根式
最简二次根式的两个特点:
(1)被开方数不含分母.
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
0
3
二次限式的加减
1.同类二次根式
几个二次根式化成最简根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫作同类二次根式。
关键提醒：
定义中强调在化成最简二次根式后，要满足“两相同，即根指数是2，被开方数相同”这一条件，这一定义的应用很广。
例5:

答案D
2.二次根式相加减
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，找出同类次根式，然后把同类二次根式分别合并。
关键提醒:
二次根式的加减和整式的加减很相似，前者是合并同类二次根式，后者为合并同类项。
例6:

0
4
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序为：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先去括号，计算结果中的二次根式必须是最简二次根式。
在计算过程中，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，有时还需要逆用公式，这样可以简化计算过程。
例7:

0
5
二次根式大小的比较
二次根式大小的比较，要根据二次根式的特点，灵活选用不同的方法，常用的方法有：求差法、求商法、例数法、平方法、移动因式法。
例8:

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6
因式的外移和内移
如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；
如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。
反之，也可以将根号外面的正因式，经平方后移到根号里面去。
