计算三重积分∫∫∫z^2dv,其中是两个球x^2+y^2+z^2<=1和x^2+y^2+z^2<=2z所围成的区域！！！！！急急急急
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发布时间：2022-04-23 10:12
共2个回答
热心网友
时间：2023-10-11 01:36
解答过程如下：
标准球坐标
x²+y²+(z-a)² = a²
x²+y²+z² = 2az
x = r sinφ cosθ
y = r sinφ sinθ
z = r cosφ
dV = r²sinφ drdφdθ
Ω方程变为：r = 2acosφ
由于整个球面在xOy面上，所以0 ≤ φ ≤ π/2
∫_(Ω) (x²+y²+z²) dV
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π/2) sinφ dφ ∫(0,2acosφ) r² * r² dr
= (2π)∫(0,π/2) sinφ * (1/5)(32a⁵cos⁵φ) dφ
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)∫(0,π/2) cos⁵φ d(cosφ)
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)[ cos⁶φ ]|(0,π/2)
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)(0 - 1)
= 32πa⁵/15
扩展资料
求三重积分的方法：
设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶5261连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为4102r?（i=1,2,...,n），体积记为Δ1653δ?，||T||=max{r?}，在每个小区域内取点f（ξ?，η回?，ζ?），作和式Σf(ξ?，η?，ζ?)Δδ?。
若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一答(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。
设三元函数z=f(x,y,z）定义在有界闭区域Ω上将区域Ω任意分成n个子域Δvi(i=123…，n）并以Δvi表示第i个子域的体积.在Δvi上任取一点。
公式：
热心网友
时间：2023-10-11 01:36
令R=1即可，详情如图所示
