高等数学。二重积分与三重积分的关系是什么?
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发布时间：2022-04-23 10:12
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时间：2023-07-01 14:56
二重积分是二维的，相当于平面。三重积分是三维的，立体的。
二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。
三重积分就是立体的质量。当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1，质量就等于其体积值。当积分函数不为1时，说明密度分布不均匀。
扩展资料
平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。
设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n），体积记为Δδᵢ，||T||=max{rᵢ}，在每个小区域内取点f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。
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时间：2023-07-01 14:56
1、几何意义不同
二重积分表示曲顶柱体体积。三重积分表示立体的质量。
2、注意事项不同
二重积分的注意事项：平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。三重积分的注意事项：当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1，质量就等于其体积值。当积分函数不为1时，说明密度分布不均匀。
3、性质不同
二重积分是二维的，相当于平面。三重积分是三维的，立体的。
三重积分
设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n），体积记为Δδᵢ，||T||=max{rᵢ}，在每个小区域内取点f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ。
若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。
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时间：2023-07-01 14:56
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时间：2023-07-01 14:57
若f(x，y)表示长度，则∫∫f(x，y)dxdy表示三维空间的体积.
若f(x，y)表示密度(即单位体积的质量)，则∫∫∫f(x，y)dxdydz表示三维空间的质量
若f(x，y)表示长度，则∫∫∫f(x，y)dxdydz表示四维空间的体积.
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时间：2023-07-01 14:58
3、三重积分的概述：设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n）。
体积记为Δδᵢ，||e799bee5baa6e997aee7ad94e4b893e5b19e31333431363062T||=max{rᵢ}，在每个小区域内取点f(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)，作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ，若该和式当||T||0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)；
则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。
