讨论定积分与二重积分,三重积分的共同点和不同点

发布网友 发布时间：2022-04-23 10:12

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热心网友 时间：2022-05-07 04:09

定积分与二重积分、三重积分三者均是高等数学中的积分内容，均具有广泛的应用。定积分与二重积分、三重积分有3点不同：

一、三者的本质不同：

1、定积分的本质：平面的面积。

2、二重积分的本质：曲顶柱体体积。

3、三重积分的本质：三重积分就是立体的质量。

二、三者的概述不同：

1、定积分的概述：定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

2、二重积分的概述：二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。

3、三重积分的概述：设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n），体积记为Δδᵢ，||T||=max{rᵢ}，在每个小区域内取点f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ）；

作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。

三、三者的几何意义不同：

1、定积分的几何意义：揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。

2、二重积分的几何意义：在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

3、三重积分的几何意义：当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1，质量就等于其体积值。当积分函数不为1时，说明密度分布不均匀。

参考资料来源：百度百科-定积分

参考资料来源：百度百科-二重积分

参考资料来源：百度百科-三重积分

热心网友 时间：2022-05-07 05:27

定积分是求面积的，二重、三重都是求体积的，

只不过定义上二重是通过给出面密度求体积，

而三重是通过体密度来求体积

二重和三重的主要区别就是积分域的区别，

二重积分的积分域是x、y的函数，也就是面

三重积分的积分域是x、y、z的函数，也就是体

定积分：

二重积分：

三重积分：

热心网友 时间：2022-05-07 07:01

热心网友 时间：2022-05-07 08:53